初中数学中的数形结合思想

初中数学中的数形结合思想

秦明礼

甘肃省积石山县吹麻滩中学731700

摘要：数形结合思想是初中数学中很重要的一种思想方法，它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。本文从以形助数方面论述了数形结合思想在解题中的具体应用：构造几何图形解决代数问题，从而使复杂问题简单化、抽象问题具体化。

关键词：初中数学数形结合思想以形助数

数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。数形结合思想，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是一种基本的数学思想。

下面结合具体实例谈谈数形结合思想在解题中的应用：

一、求最值问题

例1：已知x＞0、y＞0，且x+y=10,求x2+4+y2+9的最小值。

解：如图1，作线段AB=10，在AB上截取AE=x，EB=y，过A作AC⊥AB，且AC=3，过B作BD⊥AB，且BD=2。

由勾股定理得：CE=x2+9，BE=y2+4，那么求x2+4+y2+9的最小值即求CE+ED的最小值。

如图1，延长CA至G，使AG=AC，连接GE，由三角形两边之和大于第三边知，G、E、D三点共线时，GE+ED=DG最短。作出图形，延长DB至F，使BF=AG，连接GF。

则在Rt△DGF中，DF=2+3=5，GF=AB=10，

∴DG=DF2+GF2=102+52=55，

∴CE+DE的最小值是55，

即x2+4+y2+9的最小值是55。

二、判断方程根的个数问题

例2：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示，当0＜k＜3时，方程|ax2+bx+c|=k的根有____个。

解：作函数y=|ax2+bx+c|的图象如图3所示，当0＜k＜3时，直线y=k与函数图象有四个交点。所以，方程y=|ax2+bx+c|=k的根有4个。

三、二次函数中三角形的面积问题

例3：如图4，已知二次函数y=-x2+x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，点P为x轴上方的抛物线的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？

解：当x=0时y=4,所以A(0,4)；当y=0即-x2+x+4=0时，

x1=-2，x2=8，所以B(-2，0)、C(8，0)，

设P(a,-a2+a+4)

①当0＜a＜8时，如图5所示，过点P作PD⊥x轴于点D。

则S=S梯形OAPD+S△PDC-S△AOC=（4-a2+a+4）a+（8-a）（-a2+a+4）-×4×8=-a2+8a。

②当-2＜a＜0时，如图6所示，过点P作PD⊥x轴于点D。

则S=S梯形OAPD+S△OAC-S△PDC=（4-a2+a+4）（-a）-（8-a）（-a2+a+4）+×4×8=a2-8

即S=a2-8。

如图7所示，在同一平面直角坐标系中，作出S=-a2+8a（0<a<8)和S=a2-8a(-2<a<0）的图象，当直线s=16时与函数图象有两个交点，所以当s=16时，相应的点P有且只有2个。

总之，教师要认真研究教材，从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，逐步渗透数形结合的思想，让学生养成数形结合的良好习惯，用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，使它成为分析问题、解决问题的工具，这是我们所有数学教师应该追求的目标。

参考文献

[1]程旷主编《巧学初中数学80法》.农村读物出版社。

[2]缑小锋杨首中主编《中考集训》.甘肃教育出版社。