高中数学引导学生严谨思考课堂实例反思

高中数学引导学生严谨思考课堂实例反思

吴瑜

贵州省遵义市第四中学563000

摘要：很多高中生只顾做题，把教材扔一边，不重视教材中定义与概念的理解，导致解题思维不严谨，书写表达不规范。本文就如何引导学生严谨思考做一些探讨，以供参考。

关键词：定义概念严谨思考

普通高中新课程改革到目前“核心素养”的提出，核心理念是“以学生发展为本”，教师由传统的知识讲授者转变为学生学习的引导者，教师角色转变是为了更好地实现课堂高效，为了能够促进学生更好地学习，教师没有做好引导，就会导致课堂不能达到传统讲授知识的效果。目前高中学生存在的普遍问题是思维方式不严谨，解决问题带有主观经验性，书写表达漏洞百出，本文通过几个实例就高中数学课堂怎样引导学生严谨思考进行分析。

实例1：学生初进高一，学习了函数的几个重要概念，如函数单调性的定义：“函数f(x)的定义域为I，区间DI，任意x1,x2∈D，若x1＜x2,都有f(x1)＜f(x2)（f(x1)＞f(x2)），则称函数f(x)在区间D上是增函数（减函数）”。定义明确了函数的单调性是定义在区间上的性质，同时用数学符号刻画了“增”“减”，大多数学生在老师的强调下关注了函数的“增”“减”，而没有真正把握定义的全面内涵，所以学生弄不清楚：x1,x2∈(1,2)∪(3,4)，x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，但不能说f(x)在(1,2)∪(3,4)上是增函数的事实，就会有学生的书写出现错误表达，如：f(x)在(-1,0)∪(1,2)上是增函数；f(x)是减（增）函数。

实例2：同课异构教学探讨研究课堂上，教师讲授课题“用基本不等式求最值”，紧扣基本不等式应用的三个关键点：“一正，二定，三相等”设置例题，例题的选取层层递进，设置恰当。有一个例题的分析过程中出现如下情况：

例题：x,y＞0，且x＋2y=3,求xy的最大值。

正解：xy=x·2y≤()2，所以xy≤，当且仅当x=2y,即x=，y=时取等号，所以xy的最大值是。

部分学生解题如下：由基本不等式有xy≤（）2，当且仅当x=y，即x=1,y=1时取等号，所以xy的最大值是()2=1，学生认为解法符合了“一正，二定，三相等”，并不知道错在哪里。

解释这一错误的关键是引导学生回归定义，高中数学人教版（必修1）有函数最值的定义：“函数f(x)的定义域为I，若f(x)≥Mf(x)≤M，且存在x0∈I，使f(x0)=M，则称M是f(x)的最小值（最大值）。”定义中f(x)是变量，M是与x无关的常量。“一正，二定，三相等”应该由教师引导学生基于定义的理解来总结，学生的做法错在脱离定义，机械模仿“一正，二定，三相等”的结果。

实例3：几何概型题例：在半径为1的圆O上随机取两点，求两点之间的距离大于3的概率。学生做法1：随机两点为A、B，指定A点，B点在圆周运动变化的过程中，使AB大于3的B点1运动的轨迹占整个圆弧的，所以所求概率为。做法2：用一直线从圆O的底端沿着一直径运动到圆O的顶端，直线与圆O交于A、B两点，当直线与圆心的距离小于时，|AB|>3，所以所求概率是。做法3：在圆O上任取两点A、B，弦长|AB|的取值区间为[0,2]，所以所求概率为。3种做法多数学生并不知道其对错，原因在于对教材概念理解不到位。

几何概型概率的计算公式:

P(A)=，这就需要教师引导学生紧扣教材，认真理解基本事件的含义。这道题目的3种解法，第2、3种解法是错误的，第1种解法结果没有问题，但对于学生认识几何概型之基本事件并没有一点作用，看似简单，实际解法略显牵强（任取两点，限定了点A，基本事件有变化）。

怎样才能引导学生严谨思考呢？人教版数学（必修3）第137页上有一个实例：

“例题2:假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30-7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00-8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

书解：设送报人到达的时间为x,父亲离开家的时间为y，(x,y)可以看成平面中的点。实验的全部结果构成的区域Ω={x，y}|6.5≤x≤7.5,7≤x≤8}，这是一个正方形区域，面积为SΩ=1×1=1，事件A表示父亲在离开家前能得到报纸，所构成的区域为A={(x,y)|y≥x,6.5≤x≤7.5,7≤x≤8}，（图略）面积SA=1-××＝，所以P（A）==”。

本题与课本例题本质上是一样的，可引导学生这样解答：记圆的12点位对应的点为点O，则圆周上任意一点P，与点O逆时针到点P的弧长一一对应，点A、B分别对应弧长x,y，则x,y∈[0,2π]，所以实验结果构成的区域Ω={（x，y）|0≤x≤2π，0≤y≤2π}，区域面积SΩ=2π×2π=4π2，记事件M：“在圆周上任取两点，连线弦长大于3”，则所构成的区域M={（x，y）|<|y-x|<，x，y∈[0，2π]}，面积SM=2×（×-×）=,所以所求概率P（M）==。这样的解答真正做到了严谨、清楚，学生可以更好地体会怎样严谨分析解决问题。

基于上面三个实例，要引导学生养成严谨的思考习惯，培养学生严谨的思维方式，就应该紧抓数学基本定义、概念，抓住本质，紧扣教材，以不变应万变。严谨的思维方式方能让学生真正感受数学的真谛！