理清知识脉络 促进意义建构——一道分数意义习题引发的思考与探索

理清知识脉络 促进意义建构——一道分数意义习题引发的思考与探索

颜飞

浙江省杭州市萧山区瓜沥镇长沙小学

摘要：笔者试图通过回顾分数学习的历程，从数学分析、认知分析、教学分析三个维度理清分数知识脉络；辨析时下分数的主流意义，对教材进行有效的重组整合，然后从分数表示“关系”与分数表示“数量”两个维度出发，进行先分开后综合的教学，跳出教材编排，教学“分数的意义”促进学生对分数意义的真正建构，打通“倍数与分率”、“整数、小数与分数”的宏观联系。

关键词：知识脉络、数学分析、认知分析、教学分析、重组整合、意义建构

一、实例慎思

人 教版五年级下册《分数的意义和性质》单元，在单元练习中有这样一道练习题：

据大部分老师反映，学生错误率非常高，甚至有部分学生一直到小学毕业，还没有搞明白究竟怎么回事。

今年笔者再次执教五年级，在学习了《分数的意义和性质》后，对五年级两个班的76位学生就本题进行了测试。为了更清楚的了解学生的思考过程，以便更准确的把握学生的错误原因，要求学生用文字结合示意图的形式加以说明，要求学生在10分钟内独立完成，整个过程真实、可信。结果正确的有39人，正确率为51.3%，结果与过程均正确的仅有30人，仅占39.5%。

课后与同事交流中发现，很多同事对这个习题也是头疼不已，从一开始的耐心讲解分析，到最后让学生的死记硬背，效果总是不那么的理想。那么问题究竟出在哪里呢？

二、分析思考

这道习题考察的知识点是什么？分数的意义吗？分数的意义究竟有哪些？现在主流观点认为分数具有“部分与整体关系”、“商”、“比”、以及“测量”等不同的意义。一个分数可以表征很多种相关但不同的意义，而掌握分数概念的重要标志是理解分数所表征的这些相关但不同的意义。“把一根2米长的木条锯成同样长的4段，每段是这根木条的几分之几？”表示的是把“2米长的木条”看成一个整体，把单位“1”平均分成4份，每份占全部的 ，表示的是“部分与整体的关系”；而“每段长几分之几米”表示把“2米长的木条”平均分成4段，每段的长度是多少米？侧重于表示分数“商”的意义。

笔者试图通过回顾两种分数意义学习的历程，理清分数学习的知识脉络，找寻错误的根源，从课堂教学的角度提出一些教学建议，促进学生对分数意义的理解。

1.理清分数知识脉络（教材分析）

分数的相关知识在新人教版小学数学中被编排在三年级上册第八单元《分数的初步认识》和五年级下册第四单元《分数的意义和性质》两个单元中。

分数是小学“数与代数”领域的核心概念。分数的产生首先是人类生活的需要，其次是数学发展的需要。分数的现实背景丰富多彩，分数不仅有多元的意义，而且有多样的表征。

分数概念抽象，学生接受起来比较困难，不容易一次学好。所以分数的知识是分段教学的。三年级这个学段只是对分数进行初步认识，即从“份数”的角度来认识。教材主要是结合具体情境和操作活动来初步认识几分之一和几分之几。分数在三年级这个学段中侧重的是“份数的定义”是对“倍”的意义的延伸。五年级这个学段是学生在对分数有了初步认识的基础上进行教学的，是学生系统学习分数的开始。不但要进一步巩固分数表征“份数定义”即表示部分与整体的关系，；而且还要学习分数表征“商的定义”即表示一种具体的数量。

2.辨析分数主流意义（数学分析）

分数的意义究竟有哪些？现在主流观点认为：分数具有部分与整体的关系、商、比、测量等不同的意义。就小学而言，分数的定义主要有三种，即份数定义、商的定义和比的定义。

（1）表示一种关系

学生三年级时从“部分与整体关系”的意义认识了分数，强调在“平均分”的基础上，加入整体的概念，让学生认识到，与整体相比较，部分也可以是一个数，这就是分数。改版后人教版三下年级《分数的初步认识》中还增加了“分数的简单应用”，首先安排了“把一些物体看作一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示”的教学内容，加深了学生对分数意义的理解。接着，解决“求一个数的几分之一或几分之几是多少”的问题（例2：有12名学生，其中 是女生， 是男生。男生、女生各有多少人？）旨在让学生利用刚刚学的分数表征部分与整体的关系，结合整数乘除法的解决简单的实际问题。初步沟通了分数与除法的关系，有利于学生对两种意义的理解。

（2）表示具体数量

到了五下年级第一课时“分数的意义”仍旧突出了这种关系，明确提出整体可以是一个或者多个物体，但不管是一个还是多个物体，表示的意义仍旧为“一种关系”。在分数表示“部分与整体关系”意义的教学中，往往关注“平均分”与“整体”较多，而强调分数在这里表示“部分与整体的关系”相对较少。如将4个饼作为一个整体，那么它的 实际上表示1个饼，而有不少的学生认为是

个饼。只有认识到分数在这里表示的是 “一种关系”，才能认识分数表示“部分与整体的关系”的本质。

然而当分数表示一个具体数量的教学内容仅只有两个例题：

五下年级《分数的意义与性质》的第二课时为“分数与除法”，这实际上是分数表示“商”的意义的学习，是对分数表示一个具体数量这个运算结果的另一种意义的学习。即：除法的结果也可以用分数表示。教材安排了两道例题来说明分数与除法的关系。例1：把1个蛋糕平均分给3人，每人分得多少个？学生根据除法的意义列出算式：1÷3；然后根据分数的意义，直接说出结果：1÷3= 个。这样就把除法计算与分数联系了起来。例2：把3块月饼平均分给4人，每人分到多少块？有了例1的经验学生很容易就能列出除法算式：3÷4，但对于结果更多学生习惯用小数来表示。为此，教材安排了一组图来帮助学生理解结果：可以把3个月饼叠起来，平均分成四份，每份是3个 块，也就是 块。教材中也出现了a÷b= (b≠0)这样的关系式，明确的表示分数与除法的关系。

对于分数与除法的关系，很多学生只停留在“被除数相当于分子，除数相当于分母，除号相当于分数线，商相当于分数值”这个外在的形式上。而用分数表示除法运算的结果，某些时候分数表示一个具体数量的教学被有所忽视。综观教材编排与分数意义，笔者认为：分数侧重于“商的定义”的内容（即数量的表征）相对于“份数的定义”（即倍或率的表征）似乎少了一些。两种意义两条线的学习被安排在一起，不是十分明晰。学生对分数意义的学习，在笔者看来：学生被思维定势在分数表征“份数定义”上，认为分数就是一种关系，一种部分与整体的关系。即：“倍”的意义延伸。当分数表征“商的定义”融入进来的时候，引起了学生极大的认知冲突。且不知道分数还可以表示商的定义。不知道分数还可以表示一个具体的数量。与整数或小数表征一个具体数量实则是一回事。因此笔者认为这是导致错误率高的一个最重要的因素。

3.重组教材重构教学（教学分析）

以新人教版五下为例，分数两种意义的教学是分成两课时的，第一课时学习“部分与整体关系”的意义，第二课时学习“商”的意义。笔者认为这样的编排，仍旧突出了“份数”的意义，可能不利于学生对“商”的意义理解，以致于不能很好的区分两种不同的意义。张奠宙老师认为，“分数的份数定义可以作为起点，但是不宜过分强调，应该迅速向更抽象的定义转移”。那么，在同一课时中让学生理解、辨析、区分两种不同的意义，会不会更好的掌握分数的两种意义呢？

基于学生对分数两种意义掌握的现状，笔者认为在分数意义的教学中，可以从分数表征“份数定义”引入，但重点应放在分数表征“商的定义”和两种意义的辨析上。

（1）“份数定义”教学设计

出示例题：请你画出示意图分一分，思考：每份是全部的几分之几？

这样的设计：

1.建构了“一个整体”的意义：不管是一个物体还是多个物体，我们都可以把它看成“一个整体”。

2.揭示了分数表征“份数定义”，表示部分与整体的关系：无论把多少蛋糕平均分成4份，每份都是这些蛋糕的

（2）“商的定义”教学设计

这样的设计：

通过将100个蛋糕与4个蛋糕分均分成4份，求每份是几个蛋糕。这是学生已有的知识经验（即整数除法）展开教学，势必能为学生知识与方法的迁移起到脚手架的作用。特别说明：在教学（3）（4）两题时，不作特别强调商一定要用分数表示。也可以用小数表示。到最后再来强调：除法的结果也可以用分数来表示，同时对分数表示商的优点加以说明。这样设计的目的只有一个：就是为了让学生领会在这里：分数就等同于整数、小数，只是为了表示一个除得商。即分数表征“商的定义”。最后一题的结果，当学生说无法确定的时候，也是老师最欣慰的时候。

（3）两种意义辨析

要求：

（1）用文字描述思考过程

（2）用图或学习用具操作表述思考过程（或线段图，或其他图形，或借助老师给的学习用具操作演示）

这样的对比设计：

不论是考察学生的对分数表示“部分与整体的关系”还是分数表示“商” 的理解，对分数这个极其抽象的概念的获得，都是一个突破性的进展。

辨析3

整体的变化，引起部分的变化

部分与整体的关系

单位“1”不同，相同的量会有不同的率

三、教学实践

基于学生对分数两种意义掌握的现状，笔者认为在分数意义的教学中，可以从分数表示“份数”的定义引入，但重点应放在分数“商”的意义及两种意义的辨析上。笔者在四下年级重新进行了两次教学实践，教学效果要优于原先分成两课时教学。

【环节一】：以“平均分”引入，引发学生思考

1.出示：“平均分”，提问：我们学过的数学知识中，哪些跟“平均分”有关？

根据学生回答，板书：平均分 分数 除法

2.提问：分数是一种数，除法是一种运算，既然都与“平均分”有关，那么分数与除法之间究竟有怎样的关系呢？今天我们继续来认识分数。

（直接从平均分的角度把除法与分数联系起来，引发学生思考两者之间是否有关联？有怎样的关系？）

【环节二】：异中求同：学习分数“份数”的意义

1.认识一个整体

（1）出示例题：请你画出示意图分一分，思考：每份是全部的几分之几？

把1个蛋糕平均分成4份，每份是这个蛋糕的几分之几？

把4个蛋糕平均分成4份，每份是这些蛋糕的几分之几？

把2个蛋糕平均分成4份，每份是这些蛋糕的几分之几？

（2）思考：分别是谁在平均分成4份？请把它圈出来。

根据学生回答板书：

（3）小结：不管是一个物体还是多个物体，我们都可以把它看成“一个整体”。（由于在三上年级《分数的简单应用》中已经对多个物体表示一个整体有过接触，所以大部分学生对多个物体表示一个整体有了较好的认识。通过画一画、分一分中认识到，不管是1个、4个还是2个蛋糕，都是平均分成了4份，每份就是全部的 ，在讨论与交流中加深对“份数”意义的理解。）

2.揭示“份数”的定义

（1）提问：不同的蛋糕个数在平均分，为什么都是 呢？

（2）小结：不管是1个、2个还是4个蛋糕都看成一个整体，把一个整体平均分成若干份，这样的一份或者几份，可以用分数来表示。分数在这里表示其中一部分和整体之间的一种关系。板书：一种关系。

（把1个蛋糕和4个蛋糕平均分成4份，每份是这个蛋糕的 ，大部分学生能够理解。在两次执教过程中，也有学生提出：可以把4个蛋糕看成1个大蛋糕，把这个大蛋糕平均分成4份，也就和第1小题一样了。把2个蛋糕平均分成4份，每份是这些蛋糕的几分之几？在教学中学生出现了争议，有些学生认为是 ，有些学生认为是 ，因为有了之前的经验，大部分学生的理解是正确的，认为是 。同样有学生认为可以把2个蛋糕看成1个大蛋糕，也就和前两题道理一样了。）

【环节三】：同中求异：学习分数“除法”的意义

1.体会“除法”的意义

（1）把4个蛋糕平均分成4份，每份是几个蛋糕？

提问：可以怎样列式？4÷4，等于多少？

（2）把1个蛋糕平均分成4份，每份是几个蛋糕？

提问：算式怎么列？1÷4，追问：等于多少呢？学生根据刚才的示意图可以看出是 个蛋糕。（事实上，在这里很多学生对 和 个是混淆的。）

（3）把2个蛋糕平均分成4份，每份是几个蛋糕？

提 问：算式怎么列？2÷4，追问：等于多少呢？学生根据刚才的示意图可以看出是 个和 个，为什么不是 个呢？根据学生回答补充板书：

（从整数除法引入，学生更容易从平均分的角度把分数与除法联系起来。因为有了4个的经验，1个和2个平均分成4份，列式就比较容易了。至于结果是多少，学生可以根据示意图中看出来，但在这里学生对两种意义的区分仍旧是模糊的。）

2.区分两种不同的意义

（1）看着板书思考：为什么不一样多的蛋糕平均分成4份，每份都是全部的 ？（因为不管几个蛋糕都看成了一个整体，都表示4份中的1份）。这里的 表示其中一部分与整体之间的一种关系。

（2）看着板书思考：为什么都是 却不一样多呢？（因为整体不同），看来具体多少个蛋糕和什么有关？（总数的多少）因为总数的多少不同，所以平均分成4份后其中的1份也会有多少。这里的 个、1个和 个表示一个具体的数量，可以用除法进行计算，用分数表示结果。

（3）这里的 和 个表示的意思一样吗？根据学生回答补充板书：

3.建立模型，用符号表示分数与除法的关系

（1）观察三个除法算式，思考：怎样用分数表示除法的商？（被除数相当于分子，除数相当于分母）

（2）为什么可以这样表示？（分数和除法都可以表示平均分，在除法里，被除数表示总数，除数表示份数；而分数在表示除法的结果时，分子也就是总数，分母就是份数。因此，被除数相当于分子，除数相当于分母。）

（3）如果被除数是a，除数是b，a÷b=？得到：a÷b= ，并讨论b≠0。补充板书。

【环节四】：分数的产生

1.提问：什么时候我们会用到分数？（多数学生会提到分物体）

在日常生活中，除了分物体外，在测量的时候，往往也不能正好得好整数的结果，这时候我们可以用分数来表示。其实还可以出现在计算中，比如在计算除法时，分数也可以表示除法的商，如1÷7=？（这时候很多学生还是习惯用小数来表示，会有很少一部分学生能用 表示结果。）7÷9=？（ ，体会分数表示除法结果的优势。）

（从数学的外部需要与数学内部发展需要两个角度，解释了分数产生的不同背景，帮助学生理解两种不同的意义，并从中体会分数表示结果的优势。）

2.课堂总结

_{今天我们认识了分数，只要把一个整体平均分成若干份，这样的一份或几份可以用分数表示，表示部分与整体之间的一种关系。分数还可以表示两个数相除的结果，表示的是一种具体的数量。}

结语：

分数教学中，由于学生在刚接触分数时，都采用“份数”的定义引入，通过分一分、画一画等多种形式的强化，学生对分数表示“部分与整体的关系”是非常深刻的。这样对理解分数表示“商”是有负迁移作用的。因此，在教学设计中，通过“异中求同”、“同中求异”来帮助学生区分两种不同的意义，应该说更侧重于分数表示“商”的教学，是有利于更好地理解分数两种不同的意义的。只有理解了分数的不同意义，才可能真正建构分数这个抽象的概念。

参考文献：

[1]卢江，杨刚等，《教师教学用书（数学 五年级下册）》，人民教育出版社，2014.10。

[2]史宁中，《基本概念与运算法则》，高等教育出版社，2013.05。

[3]章勤琼，徐文彬，《论小学数学分数的多层级理解及其教学》，课程·教材·教法，2016.03。

[4]王文英，《基于 “问题教学”的设计——以分数与除法的关系为例》，小学数学老师，2015.05。

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