新课改背景下解析几何问题求解中的向量知识应用

新课改背景下解析几何问题求解中的向量知识应用

邓远学

利川市民族中等职业技术学校

新课改背景下，对于高中解析几何中的一些问题, 充分挖掘题目的隐含条件，寻找正确的思维切入点是正确解题关键，在高考中解析几何与向量的结合已成为高考命题的主旋律，合理借助平面向量的有关知识(向量共线的充要条件、平面向量的数量积及坐标运算等)来解决,不仅可以构建知识间的联系,还能简化运算,使问题化难为易。下面不妨通过具体问题探讨解析几何问题求解中的向量知识应用.

例1、已知常数a>0，向量 =（0，a）， =（1，0），经过原点O以 +λ 为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以 －2λ 为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

【解析】本小题为解析几何与向量知识的交汇，主要考查平面向量的概念和计算在求轨迹问题上的应用及椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来，另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题，如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识和能力。

根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.∵ =（1，0）， =（0，a）， ∴ +λ =（λ，a）， －2λ =（1，－2λa）因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .消去参数λ，得点 的坐标满足方程 .整理得 ……① 因为 所以得：（i）当 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当 时，方程①表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点；（iii）当 时，方程①也表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点.

例2、已知椭圆C： 上动点 到定点 ,其中 的距离 的最小值为1.（1）请确定M点的坐标（2）试问是否存在经过M点的直线 ,使 与椭圆C的两个交点A、B满足条件 （O为原点）,若存在,求出 的方程,若不存在请说是理由。

解析：此题在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来，应用韦达定理建立起关系式，解题关键是由条件 知 ，再将条件转化为点的坐标运算后结合韦达定理求解。

（1）设 ，由 得 故 由于 且 故当 时， 的最小值为 （此时 ），当 时， 取得最小值为 解得 （不合题意舍）。综上所知当 是满足题意此时M的坐标为（1，0）。

（2）由题意知条件 等价于 ，当 的斜率不存在时， 与C的交点为 ，此时 ，设 的方程为 ，代入椭圆方程整理得 ，由于点M在椭圆内部故 恒成立，由 知 即 （＊），

据韦达定理得 ，

代入（＊）式得 得 不合题意。综上知这样的直线不存在。

【例3】已知点P（4，4），圆C： 与椭圆E： 有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．

（1）求m的值与椭圆E的方程；

（ 2）设Q为椭圆E上的一个动点，求 的取值范围．

解析：本题易错点在于椭圆的方程的计算量本身就大，方法和计算技巧的运用很重要。（1）点A代入圆C方程，得 ．

∵m＜3，∴m＝1．圆C： ．

设直线PF1的斜率为k，则PF1： ，

即 ．∵直线PF1与圆C相切，∴ ．解得 ．

当k＝ 时，直线PF1与x轴的交点横坐标为 ，不合题意，舍去．

当k＝ 时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．

2a＝AF1＋AF2＝ ， ，a2＝18，b2＝2．

∴椭圆E的方程为： ．

（2）∵ ，设Q（x，y），则 ， ．

∵ ，即 而 ，∴－18≤6xy≤18．

∴ 的取值范围是[0，36]，

即 的取值范围是[－6，6]．

∴ 的取值范围是[－12，0]．

【练1】（1）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点， 与 共线。（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且 ，证明 为定值。

（2）已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使 · ， · , · 成公差小于零的等差数列（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（ ），记 为 与 的夹角，求 ；

（3）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则 等于（ ） A. B.－ C.3 D.－3

【练2】已知椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，以右焦点

为圆心，过另一焦点 的圆被右准线截的两段弧长之比2:1, 为此平面上一定点，且 .（1）求椭圆的方程（2）若直线 与椭圆交于如图两点A、B，令 。求函数 的值域

【练习3】已知圆 上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足 .

（1）求点G的轨迹C的方程；

（2）已知点F（2，0）在轨迹C上，求 的最大值和最小值。

练习答案： 1.（1） ， =1；（2）①点P的轨迹是以原点为圆心， 为半径的右半圆②tan =|y | 2.（1） ，（2） ，（3）B

3.（1）点G的轨迹C的方程为： ，（2） 的最大值和最小值分别为 ，-2。

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