探索拐点之美的足迹

探索拐点之美的足迹

苏汉武

广东省佛山市狮山实验学校 528225

摘要：《相交线与平行线》在平行线条件下探索拐点引起角度数量之间的关系，学生通过观察、归纳、分类、化归等数学思想方法的对拐点的学习探究，感受拐点带来的美感，从而提升学生对拐点引发多样性问题的解题策略与方法。

关键词：平行线；拐点；辅助线

几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。所谓“点动成线，线动成面，面动成体”，任何一幅复杂的几何图形都是由各种基本图形汇聚组合而成的。为了让学生更好地理解和掌握在平行线的条件下，拐点的位置给角度带来数量之间变化的关系，对角度进行定量的分析。如何使得学生理清题意后，轻松愉悦高效准确地解题，因此掌握各种拐点位置在平行线中的变化，结合平行线判定与性质，逻辑严谨、精准对接相关知识点解决各种拐点位置带来的模型题型。

一.拐点之美

在学习《相交线与平行线》的相关教辅中，有个实验探究活动：现有两根笔直的木条，分别在两个木条的一端系上一条橡皮筋，在两根木条互相平行的情况下，取橡皮筋的任意一个点，通过不停地改变拉动橡皮筋的方向，会呈现出形式多样的几何图形，（已知AB∥CD，试问∠A、∠C、∠P有什么关系？）现在我们一起来探究常见的六种基本模型题型。

图1

图2

图3

图4

图5

图6

图7 图8

图1：“铅笔型”图2：“燕尾型”图3、5：“犀牛角型”

图4、6：“锄头型”图7、8是拓展图

通过引导学生对实验反复操作探究，指导学生将实验操作所得的基础图形进行分类整理，慢慢地培养提升学生敏锐观察力、自主探索能力、动手实验操作能力以及独立思考能力，启发学生对拐点（P点）位置引出的六种基本图形进行唯美的赏析，感受拐点位置带来角度量之间关系的美感。奥古斯特·罗丹法国著名雕塑家说：“生活中不是缺少美，而是缺少发现美的眼睛”拐点在我们生活中无处不在，无处不美。拐点的美在哪？美在它给他人带来质的飞跃、量的突破、美在它给我们带来了解决问题思维上的新思考。

二.拐点的巧妙

知识点是存在着过渡性和连贯性，使学生明确探究一个新的知识点要以从已学过的知识点或已有的学习经验活动为出发点，寻求知识之间的联系与区别。对刚接触学习几何内容的初一学生来说这六幅图是会显得比较陌生，一般情况下学生对前面学习“三线八角”简单的图形内容问题理解的比较透彻、全面，面临新问题，学生的思维有点滞后，解题策略又该何去何从呢？

平行线之下的拐点解题策略离不开初中数学的转化化归思想。化归具体内容就将面临的新问题，陌生、复杂的问题转化为我们已经熟悉、简单的规范问题。化归三要素：1.化归对象（陌生的新问题）2.化归目标（规范问题）3.化归途径（沟通新问题与规范问题的策略设计）同学们日常解答几何问题时，当觉得似乎缺少了条件，就会想起添加辅助线，通过添加辅助线构造新图形，将分散的条件串联起来重组整合，建立已知和未知的桥梁，将问题演变成为自己所拥有的认知知识水平，从而有效解题。平行线中拐点位置遇上辅助线将会描绘什么样的美图？让我们继续探究它们美的足迹。

学生从图1、2、3直接获取的信息内容，条件不足无法解决∠A、∠C、∠P之间数量关系的，唯一已知条件是AB∥CD，如何突破？解答几何题目的经验告诉我们：从“已知条件”入手，从“结论”入手，从“已知条件”“结论”同时入手，双管齐下都是解题的尝试途径，然而就以平行线的判定与性质内容为抓手，构造出我们熟悉的知识要点图形“三线八角”，需要学生敏锐的观察力以及知识点的检索提取能力，拐点P位置隔离了线段AB、CD间的互通，如同两岸有条宽敞河流，欲达对面彼岸，无非就是遇水搭桥，桥通两岸才互通。以拐点P为起点架桥（辅助线），过P点作PE∥AB,（图1：过P点向右作线段PE,图2、3：过P点向左作线段PE）因AB∥CD，由平行线的传递性得出AB∥PE∥CD，图1、2中原来的大∠P分为两个小角（不一定相等）再利用平行线的性质探究解答∠A、∠C、∠P之间的数量关系。此过程教师应挖掘量变因素，对新问题信息加工处理到使学生通过自身潜力所能解决问题的水平上，降低学生对陌生问题的恐惧感，从而获得新思维新活力新灵感。进一步培养学生学习转化化归思想方法，将陌生图形演变为熟悉的图形，将新知识转化为旧知识。图1结论：∠A+∠C+∠P=360°；图2结论：∠A+∠C=∠P；图3结论：∠A+∠P=∠C。从图4、6观察，基本图形符合“三线八角”的知识内容,体现平行线的“移角”功能，图4（图6）利用平行线性质将∠A转移到线段CD下方（将∠C转移到线段AB上方），接着应用三角形内角和定理的推论解答，图4结论：∠P+∠C=∠A；图6结论：∠P+∠A=∠C。古希腊力学之父阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球”突出了点的价值，学生用美的眼光审视图4、6拐点P,基本图形就赋予了新的画面。过P点做PE∥AB（方向都是向左），图4（图6）利用平行线性质（两直线平行，内错角相等）使得图4中∠A=∠APE,∠C=∠CPE;图6中∠C=∠CPE，∠A=∠APE;从而得出正确结论。学生历经拐点P位置带来新的解题方案、方法和思路，对比以上两种解题方法策略的不同，给予学生灌输一题多解的思想，视野得以开拓，思维得以发展，心理更能体验感受到拐点的独特之美。观察图3、5，拐点P位置，除了过P点作线段AB的平行线的做法以外还存着的另外一种做法，以拐点P为起点，延长PC交线段AB于点M(图3)；延长PA交线段CD于点N(图5)构造出我们熟悉的“三线八角”内容，再次体现平行线“移角”功能以及三角形内角和推论。

结语

平行线下拐点之美，给学生带来视野上美感的体验，拐点产生美需要学生通过观察，分析、转化化归等思维方法的拓展与发散，对基本图形的“美化”，“描绘”成我们熟悉图案，从而感受拐点位置不同引发问题多样性的新思考！

参考文献

1. 孙厚康.初中数学思想方法指引[M].杭州：浙江大学出版社，2015.6（2020.1重印）

2. 惠红民.初中数学解题研究.第3辑，神奇的几何辅助线[M].杭州：浙江大学出版社，2019.4（2019.12重印）

3. 彭林.初中数学解题规律、方法与技巧.平面几何[M].上海：上海社会科学院出版社，2017