再认识分数的 2点思考

再认识分数的 2点思考

杜丽娜

无锡市张泾实验小学

1. 教材分析

本单元在苏教版三年级上册《分数的初步认识（一）》的基础上编排。学生已经初步认识了一个物体、一个图形的几分之一和几分之几的知识经验。本单元继续教学分数，把若干个相同的物体看成一个整体，认识整体的几分之一和几分之几。一共编排五道例题，具体安排如下表：

这样的安排和三上很相似，意味着整体的几分之一的教学，应重点突破，以带动其余。让学生很好地体验整体的1/2的含义，带着这份经验，去主动认识整体的其他几分之一，并以对整体的几分之一的认识为基础，体验整体几分之几的含义，改善学习方式。

2. 分数概念的解读

读了张奠宙先生的《小学数学教材中的大道理》之课题8，知道了小学教材中对分数概念的教学要达到以下3个目标。

目标1：认识到分数是有大小的一种新的数。其目的是为了帮助我们度量小于1的量。它应该比1小、比0大。

目标2：理解将一个整体平均分为n份，相当于1被n除。以前是不可以的，现在可以了。商是1/n。

目标3：理解分数是用来描述部分在整体中的大小的。

基于对教材的分析、分数概念的解读和4堂《认识分数》的同课异构，谈我们的一些想法。

3. 再认识分数的思考

思考1：如何引发认知需要，凸显几分之一的本质特征

回眸镜头1：

师：把4个桃看成一个整体，平均分成4份，每只小猴分得这盘桃的 。现在把这盘桃子增加到了8个，平均分给4只小猴，那么每只小猴分得几个？又是这盘桃的几分之几呢？你会分吗？请你在操作纸上继续帮猴妈妈来分一分。

生1：把8个桃看成一个整体，平均分成4份，每份是2个，所以每只小猴分得2个桃子，也可以表示成 。

生2：其实不是 ，而是每只小猴分得这些桃的 ，因为它们平均分成了4份。

生3：可以说每只小猴分得这些桃的 ，因为我们知道这盘桃一共有8个，然后每只小猴分得了2个桃子，所以是 。

师：好，同学们，现在我们有不同的答案，不着急，我们慢慢来，首先，认为是 的小朋友举手。（约90%的孩子认同）

师：说说看你为什么认为是 ？

生：因为这些桃子一共有8个，每只小猴分得了2个，所以是 。

师：有同学认为是 吗？（只有个别学生举手）

生：我认为是 ，因为这盘桃平均分成了4份，每只小猴分得了其中的1份。

师：在这里， 和 到底哪一个比较合适呢？

生：我认为 应该更合适，因为把8个桃平均分成4份，每份就是 ，如果是 的话，就等于平均分成8份了。

反思1：这个环节的产生，恰好体现了学生对于分数本质意义的探讨， 、 和 ，这三个分数在学生争论时，普遍倾向于 ，也就是学生在平均分的过程中，更加关注的是具体数量之间的关系，而忽略了部分与整体的关系，即“份数比”。从一个物体的几分之一到一个整体的几分之一，是分数概念的一次重要发展。学生理解一个物体的几分之一不是太难，理解一个整体的几分之一就不那么容易了。这是因为，把一个物体平均分，其中的一份很难用整数表示，只能用分数表示，所用的分数有较强的直观性。而一个整体里有若干个物体，把整体平均分，其中一份的物体个数往往是整数，这时用分数表示一份与整体的关系，显得有些抽象。学生习惯了整数范围内的计算与解决问题，把认数向新的领域扩展，需要有强烈的动机来支撑。

我们在想所有老师都是要么把2只桃子平均分给2只小猴，每只小猴分的二分之一，无论从数个数和数份数，答案都是二分之一。相继研究4只桃子平均分给2只小猴，从而有学生出现四分之二这样的学情。如果从2只桃子平均分给4只猴子导入，是不是可以引发一种“分”的认知需要，帮助学生建立“先分后数”的思想，从而建立四分之一这个分数概念的本质特征。

反思2：4堂课中老师都会聚焦2/8和1/4,2/6和1/3,2/4和1/2此类学情的争辩，拼命地想让学生弄清楚这里的分数只和平均分的份数有关和每份的个数是没有关系的。细细回味学生的想法，他们实际上就是在求“一个数是另一个数的几分之几”的问题。如“8只桃子平均分给4只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几”，我们可以用求一个数占另一个数的几分之几的方法：先想每只小猴分得8➗4=2，用2只桃子是8只桃子即这盘桃的2/8。当学生学习了分数的基本性质之后，自然会约分为1/4。

思考2：如何突破一提到分数就联想到等分桃子的模型。

阅 读张奠宙先生的《“分数”教材里一个没有解决的问题——谈分数与包含除的关系》一文，对文中的观点深有感触。文中说到，我国的分数定义是：“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。”这样的定义，必须要预先知道平均分为几份。但是许多情景是难以做到的。他认为分数的定义单纯用平均分的情形1作为引例进行概括显然是不够的，需要补充情形2（包含除）的例子。对于张先生的观点，观察我们的教材（如图），教材中出现的都是“平均分”的实例来阐述分数的意义，同课异构的4堂课无一例外都是紧扣分数意义的核心“平均分”来教学。

反思：如果一提到分数就联想到等分桃子的模型，会限制学生对分数的理解。为了全面理解分数，知道“平均分为几份”的“分桃子”模型，只考量了情形1，停留于此是不够的。我们是否可以考虑这样调整：

在把一盘不同总数的桃子平均分给2只小猴后进行例题的变式：

一盘桃子（6个），平均每只小猴分得2个，每只小猴分得这盘桃子的几分之几？

这里先用包含除：6➗2=3。于是知道6里包含3个2.这就是说，如果6个桃子平均分成3份，那么，2个桃子是整体的1/3。这样一来每只小猴分得的2个（作为整体的一部分）是平均分为3份之后其中的一份，即占整体的1/3。如此之后一盘桃子（6个），平均每只小猴分得4个，每只小猴分得这盘桃子的几分之几，同样要用包含除（6➗2=3）知道6里包含3个2，因而将整体6只桃子平均分为3份，两份就是4个，这样一来，分得的4个桃子（作为整体的部分）是平均分为3份之后其中的2份，即占整体的2/3。

正如张先生所说，分数的定义单纯用平均分的情形1作为引例进行概括，是不够的。过份强调，不求发展，将会带来呆板的思维定势。以后分数的应用，多半会涉及部分与整体的比例关系，即包含除的问题。