直线的参数方程及其应用

直线的参数方程及其应用

刘文辉

陕西省商州区高级中学 陕西 商洛 726000

摘要：解析几何是高考考查的重要内容，主要有：直线与圆、直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系，相交求交点坐标及弦长等。直线作为解析几何的重要组成部分，直线的参数方程在解析几何中有着较为广泛的应用，且在具体题目中有着较强的的综合性与灵活性。学生对直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式较为熟悉，能够熟练运用。但对直线的参数方程较为陌生，应用起来有着一定的难度。直线的参数方程作为选修4-4第二章参数方程的重要内容，近几年高考对直线的参数方程的考查力度有所加大，其中以参数方程中参数t的几何意义最为突出。如何准确理解直线参数方程中参数t的几何意义，并能熟练运用直线的参数方程解题，对学生综合能力的提高及数学核心素养的培养有着十分重要的意义。因此，本文主要从直线参数方程t的几何意义及其应用几个方面作较为详细的阐述，为直线的参数方程教学提供参考。

关键词：参数方程；倾斜角；普通方程；几何意义；

1. 直线的普通方程与参数方程

北师大版必修二中，学生已经学习过直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，并且掌握了这五种方程的应用条件，能够正确根据题目中的已知条件选择适当的方程形式求出直线的方程，并能够相互转化。直线方程的这五种形式中，尤以点斜式、斜截式、一般式用的最多，也是高考考查的重要内容。如：已知直线上点P的坐标及直线的斜率k（倾斜角α），常选用点斜式；已知直线斜率和直线在y轴上的截距及判断两直线的位置关系，常选用截距式；求与已知直线平行或垂直的直线方程，点到直线的距离公式，常选用一般式。与直线的参数方程相对应，我们称直线方程的这五种形式为直线的普通方程。

普通方程是直接给出曲线上点的横纵坐标x和y之间的关系，参数方程是曲线上点的横纵坐标x和y之间引入一个参数。在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x和y都是某个变量t的函数，即 ，叫作曲线的参数方程。过点 ，倾斜角为 的直线的参数方程为 。直线的参数方程相比较于普通方程，由于横纵坐标 之间引入了中间变量 ，所以学生理解起来有一定的难度，要是不能正确理解参数方程中参数 的几何意义，学生在运用参数方程解题就会更加困难。因此，准确理解直线的参数方程中参数 的几何意义就显得尤为重要。

2. 直线的参数方程中参数 的几何意义

1. 直线参数方程的标准式

1. 过点 ，倾斜角为 的直线的参数方程为 。设 为直线上任意一点， 的几何意义是： 表示有向线段 的数量， =

因为 为直线上任意一点（规定向上的方向为正方向），不妨设 ，则 ，所以 = = 。

当 时，点 在 的上方；当 时，点 与 重合；当 时，点 在 的下方。

2. 若 、 是直线上两点，所对应的参数分别为 、 ，则

因为 、 是直线上两点，所对应的参数分别为 、 ，不妨设 ， ，则 ，所以

= =

（3） 、 是直线上两点，所对应的参数分别为 、 ，则 、 的中点 对应的参数为 。若 为 、 的中点，则 ，反之亦成立。

因为 为 、 的中点，所以 ，则 ，因为 、 位于 两侧（取向上方向为正方向），所以 ，所以 。

若 为 、 的中点，则 ,则 ，且 ， 异号，所以 ，即 。

2. 直线参数方程的一般式

过点 ，斜率为 的直线的参数方程是 。

在运用直线的参数方程求截得的弦长时，一定要注意题目中给出的是直线参数方程的标准式还是一般式。若给出的是标准式，可直接联立直线的参数方程与圆或椭圆的方程，化为关于 的一元二次方程。然后根据根与系数的关系，写出两根之和、两根之积，根据参数 的几何意义，去掉绝对值化简求得弦长。若给出的是直线方程的一般式，则要先求出直线的斜率与倾斜角，化为标准式再与圆或椭圆的方程联立求出截得的弦长，切不可直接代入圆或椭圆的方程中去求。

在平面直角坐标系中，我们把直线 看作实数轴，以直线 向上的方向为正方向，以定点 为原点，以原坐标系的单位长为单位长度，这样参数 便和这条实数轴上的点 建立了一一对应关系，即直线 上的任意一点 都唯一对应于一个参数 。

三、直线参数方程的应用

1. 求直线上点的坐标

已知直线 的参数方程，判断点 是否在直线 上，只需把点的坐标代入直线的方程中，判断该方程组是否有解。

1. 已知直线 的参数方程为 ，试判断 、 是否在直线 上？

解析：将 、 分别代入直线 的参数方程中，分别求得 和无解，所以 在直线 上， 不在直线 上。

2. 直线的参数方程与普通方程的互化

将直线的参数方程化为普通方程，关键是消去参数，常见方法有代入法、加减消参法、作商法。将直线的普通方程转化为参数方程的关键是找到直线上一点 的坐标以及求出直线的斜率

，并求出直线的倾斜角，然后代入直线的参数方程中求出直线的参数方程。

2. 已知直线 的参数方程为 ，求直线 的普通方程，并求出直线 的倾斜角 ，说明参数 的几何意义。

解析：将直线 的参数方程变形为 ，两式相比得： ，显然这是直线 的点斜式方程，它表示过点 ，斜率 的直线，又因为 ，所以 。化为一般式方程为： ， 表示 到直线 上任意一点 的数量， =

3. 求定点到过定点的直线与其它曲线交点的距离之和（积）

已知直线 的参数方程为 ，曲线 的极坐标方程或参数方程，直线 过点 ，且与曲线 相交于 、 两点，求 或 。这类问题可以先求出曲线 的直角坐标方程，然后把直线的参数方程代入曲线 的直角坐标方程中，形成关于 的一元二次方程，根据根与系数的关系写出两根之和、两根之积。不妨设 、 两点对应的参数分别为 和 ，则根据参数 的几何意义有： ， ，则 ，根据两根之积的正负去掉绝对值即可。 ，要去掉绝对值，分两种情况： 、 同号 若同正，则 = ；若同负，则 = ，由两根之和即可得出。 、 异号 若 为正， 为负，则 = ；若 为负， 为正，则 = 。无论 为正、 为负还是 为负、 为正， = ，然后转化为两根之和，两根之积，代入求值即可。 、 同号还是异号，根据两根之积大于（小于）零可以判断出。

3. 已知直线 的参数方程为： ，曲线 的参数方程为：

1. 求直线 与曲线 的普通方程。

2. 点 的极坐标为 ，直线 与曲线 相交于 、 两点，求 的值。

解析：（1）因为直线 的参数方程为 ，消去参数 可得普通方程为： ，因为曲线 的参数方程为： ，消去参数 可得：

3. 因为点 的极坐标为 ，化为直角坐标为： ，所以 在直线 上，将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程中可得： ，由根与系数的关系可得： ，所以 和 异号，所以

=

4. 求直线与曲线相交的弦长

已知直线 的参数方程为 ，曲线 的极坐标方程或参数方程，直线 过点 ，且与曲线 相交于 、 两点，求弦长 。

分两种情况： 、 两点位于 点的同侧，则 = = ； 、 两点位于 点的异侧，则 = = 。总之，不论

、 两点位于 点的同侧还是异侧，都有 = 。

4. 在直角坐标系xOy中，直线 的参数方程为 ，曲线 的参数方程为 ，直线 与曲线 相交于 、 两点，求

解析：直线 的参数方程不是标准式，先化为标准式： ，

曲线 的普通方程为： ，将直线 的标准式参数方程带入得： ，所以 ， =

5. 求解中点问题

已知直线 经过点 ， 、 是直线 上两点，所对应的参数分别为 、 ，则 、 的中点 对应的参数为 ,且

5. 已知直线 过点 ，斜率为 ，直线 和抛物线 相交于 、 两点，设线段 的中点为 ，求

解析：由题可知，直线 的参数方程为： ，将其代入抛物线的方程可得： ，由根与系数的关系得： ，

由于 为线段 的中点，根据参数 的几何意义，得

四、小结

总之，直线的参数方程在解析几何中有着广泛的应用，掌握直线的参数方程中参数 的几何意义，可以为我们解题时多提供一种思路。如直线与曲线相交，求弦长。有些题在用直角坐标方程求解时非常麻烦，交点坐标不太好求，用两点间的距离公式代入运算量非常大，用直线的参数方程就使得问题迎刃而解，充分体现了数学中的整体思想。直线的参数方程作为解析几何的重要组成部分，有助于培养学生的数学抽象与数学运算核心素养。因此教师在日常教学中，应帮助学生加深对直线参数方程中参数 的几何意义的理解，重视对直线参数方程的应用，提高学生运用知识解决问题的综合能力。

参考文献

1. 屠新跃.直线参数方程的应用[J].中学生数学：高中版,2012(12):29-29.

2. 陈义.直线参数方程应用的奇思与妙用[J].数学之友,2012(4):60-61.

3. 韦国将.直线参数方程在高中数学解题中的应用J].中学生数理化：教与学,2016(11):89-89.

4. 赵建勋.直线参数方程及其应用[J].中学生数学,2014(21):24-25.

5. 李剑.直线参数方程中参数的几何意义[J]试题与研究：教学论坛,2013（31）:64-64.