利用 与 的关系解决问题

利用 与 的关系解决问题

林铁峰

泉州师范学院附属鹏峰中学 福建省泉州市 362300

摘要：高中学习了基本函数：对数函数，对其图象与性质学习了一些，但在求解过程中我们发现对数函数 常与一些与多项式或幂有关的式子进行综合讨论，此时对数符号的存在犹如在我们与答案之间建立了一条鸿沟，使我们难以达到答案的彼岸。

关键词：对数函数 一次函数 不等式

高中学习了基本函数：对数函数，对其图象与性质学习了一些，但在求解过程中我们发现对数函数 常与一些与多项式或幂有关的式子进行综合讨论，此时对数符号的存在犹如在我们与答案之间建立了一条鸿沟，使我们难以达到答案的彼岸。而常见的函数中，一次，二次函数是我们所熟知的，如何对一个问题化未知为已知呢？后来我发现了两个函数 与 之间的一个小秘密，下面一起来看看：

例1. 已知函数 ， ．（e=2.718…)

（I）求函数 的极大值；

（II ）求证： ；

粗略看这道题目的两个小题，第1小题的求解比较简单，而第二小题中，不等式的左边是一个和式，右边含有对数符号，这样的搭配可以说很是让人费解。于是就抱着试一试的想法去解题，结果一不小心就把第2小题也求出来了,求解如下：

解：（Ⅰ）∵ ，∴ ．

令 ，解得： ，令 ，解得： ，

∴函数 在 上递增， 上递减，∴ ．

（Ⅱ）证明：由（1）知 是函数 极大值点,也是最大值点， ∴ ，

即 ，（当且仅当 时等号成立）

令 得： ， 取 ，

则 ，

∴ ，

迭加得

一起来回顾一下上题的求解，第1小题利用导数讨论完极大值的问题后；根据经验，第1题的结论也许可以用到第2题，并没有也不应该将第1题的结果丢之脑后，而是在第1小题的引导下得到了如下结论：

结论： ，（其中 ） （当且仅当 时等号成立）

然后再由这个结论去证明第2小题，于是第2小题也就水到渠成了。

例2. 已知函数f(x)=x-1-lnx. 
(1)求f（x）的最小值。 

（2）求证：n属于正整数，  
解：（1）函数f(x)=x-1-lnx，定义域为：x＞0 ， 由 时有：x=1 

又，当x＞1时， ，函数f(x)单调递增； 
当0＜x＜1时， ，函数f(x)单调递减。 
所以，f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0 
（2）用数学归纳法： 
①当n=1时，左边= e≈2.718，右边=1+1=2 
所以，左边＞右边，等式成立 
②假设当n=k（k∈N，k≥2）时不等式成立，则： ………（1） 
③那么，当n=k+1时： 
左边= = ＞ …………（2） 
而由第一问的结论知，当x＞1时，f(x)=x-1-lnx＞0 
于是， lnx＜x-1  所以 令 ，则：  
所以： 代入到(2)式，就有： 
当n=k+1时，左边＞ =右边 
综上，当n∈N时，不等式成立。

例3. 已知 ，试证明：当 时， 在 为增函数。

证明： ， ， ……………①

证明：将 代入结论一: 中的 得： ，

，所以由①得 ，所以本题得证。

此结论在一些问题中常被用到，所以应引起我们的重视。

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