初中数学分类讨论思想在解题中的应用研究

初中数学分类讨论思想在解题中的应用研究

唐建 王羽容

福安市第五中学 355011

摘 要：数学学科作为培养学生逻辑思维和创新能力的关键学科,在各个学段各个年级的教学中都获得了相关教育工作者和教学单位的广泛关注与重视。初中时期，更是有效衔接小学与高中知识和能力的关键时期。分类讨论思想是能够高效整理、归纳、分析和总结问题的一种良好的思维体系，其在初中数学教学中的科学应用必然有助于提高学生的综合素质，并且优化整个班级的教学质量及学生的知识掌握的整体水平。本文通过简单阐述分类讨论思想的本质与步骤，分析其在初中数学解题中的重要作用，并举例说明其具体应用的科学策略。

关键词：初中数学；分类讨论思想；解题方法；应用研究

实际上，对于数学知识的学习和数学问题的解答来说，教授学生科学高效的解题方法相对于题海战术有着更大的价值和更长远的积极意义。对于初中生而言，分类讨论思想不仅是学生解题的良好思路，更是新课程改革、素质教育和中考重点考察的重要内容。因此，教师应当积极重视在日常的学习生活中渗透分类讨论思想，并为学生提供可以运用此解题思路的良好“平台”与机会,从而让学生在不断的实践锻炼中培养和提高解题能力以及学习能力。

一、分类讨论思想的本质与步骤

1、分类讨论的本质

分类讨论思想是一种非常重要的数学思想。在实际的解题过程中，我们可以发现，很多数学问题并不是能够直观地运用某一种数学方法就可以快速地解决。但是，当我们静下心来回到题目本身，却能发现问题的本质是相同的。因此，这就需要我们解题的过程中注意根据题目的特点和要求，及时、科学而准确地将问题分类为或转化为若干个可以运用其他数学结论来解决的小问题，之后通过正向或逆向思维一一解决这些小问题，而得出最终答案。实际上，这种解题思路与解题方法早已渗透和广泛应用于初中生的日常学习与解题过程中。虽然，我们没有在日常的教学活动中明确指出分类讨论的概念，也没有完全重视和体现学生们在解题时进行分类讨论的实际操作思维过程，但每一个学生都在或多或少、或极好或一般地应用着这样的解题策略，往往只需要教师做更深层次的扩展与引导。

2、分类讨论具体步骤与要求

第一，认真钻研，确定分类思想的对象。第二，科学分析，明确分类标准。第三，注意对具体内容进行系统的逐类分类，从而及时得到阶段性的分类结果。第四，用之前确认的分类标准再次检查和确认分类行为后的实际结果。第五，归纳作出结论。第六，提高重视度，加强小组互动探究，让分类讨论思想在思维碰撞中发挥更大的价值。实际上，分类讨论思想作为学科核心素养和中考重点考察的内容之一，其实是一种化整为零的归类整理的办法，它体现了数学学科对于物质、现象等等之间的内在规律的总结与整体逻辑，其极大程度上有助于提高学生的逻辑思维能力和自我总结与反思的能力。

二、分类讨论思想在初中数学解题中的重要作用

首先，其有利于提高学生逻辑思维能力，由于初中时期学生正处在心理、生理都飞速发展的黄金时期，对其进行思想、逻辑的渗透和综合能力的培养的积极作用远比机械性的练习要大的多。其次，由于分类讨论思想作为个人归纳总结的能力体现，在初中时期加强分类讨论思想的科学、高效而灵活地渗透，对培养学生的归纳总结和科学探究能力的积极作用可见一斑。最后，作为中考重点考察的内容之一，其很好地顺应了新课程改革和学科核心素养理念的要求。另外，随着互联网信息技术的高速发展和大数据时代的到来，培养初中学生分类讨论的基础能力，从而培养与提高其归纳总结与反思的能力，使其具有更大的可塑性和韧性等，这也是时代发展和科技进步的必然趋势。

三、举例说明分类讨论思想的具体应用

1、探讨与数与式有关的分类讨论

在代数题目的解题过程中，科学高效地应用分类讨论解题思想，既能够充分缩短解题时间以提高解题效率，更能因为分类讨论其更全面化的特性充分提高解题的正确率，因此，注重其在数与式有关的内容中的应用至关重要。举例来说，例1，已知代数式 a/|a|+b/|b|+ab/|ab|，求该式子所有的可能的值，进行系统的分析得出，(1)当a＞0，b＞0时，ab＞ 0，原式等于3。(2)当a＞0，b＜0时，ab＜0，原式等于－1。(3)当a＜0，b＞0时，ab＜0，原式等于－1。(4) 当a＜0，b＜0时，ab＞0，原式等于－1。综合以上结果，得出式子有-1和3两种结果。

2、几何问题中的分类讨论思想应用

在初中数学中，最常存在分类讨论思想应用的内容主要出现在三角形和圆的相关章节中。比如，在三角形类题目中分类讨论思想的具体应用主要有以下四种类型，第一，形状不确定。第二，涉及等腰三角形时无法明确腰和底边。第三，涉及直角三角形时，不能确认斜边。第四，涉及相似的三角形，而其对应边和对应角不能获得准确的限定时。

举例来说，例2，已知三角形ABC的AB边长为15cm，其AC边长为13cm，而边BC上的高AD则为12cm，结合上述数据，请计算此三角形的面积。对题目进行系统的观察与思考，我们可以及时地知道，三角形的具体形状实际上没有被明确的确认，因此，与要进行相应的分类讨论。一种情况，可能存在着高AD在三角形内的情况，此时通过勾股定理BC=BD+CD=9+5=14,那么这时题干所说三角形面积则为底边BC*高AD/2=14*12/2=84平方厘米。另外一种情况，当高AD在三角形之外，这时的三角形ABC实际上为钝角三角形，我们可以由勾股定理进一步获得BC=BD-CD=9-5=4，从而得出三角形ABC的面积等于24平方厘米的第二种结论。如此，我们可以直观地感受到，科学高效地应用分类讨论思想对提高解题正确率，和有效锻炼学生逻辑思维能力的积极作用。

3、题设本身具有可分类讨论性

实际上，除了涉及绝对值、三角形、函数以及圆的相关知识的讨论之外，还有一些题目的题设本身具有可分类讨论的特性。这些可分类讨论的问题点常常是大多数学生不易发觉和难以引起重视的关键内容，因此，一些初中生由于思维的僵化或刻板，常常不能充分考虑全部情况，而因为考虑不周掉进出题人的陷阱，从而失掉应得的分数。

比如，在涉及线段长度比值的问题时，由于线段及端点位置的不确定性引发相应的分类讨论。例3，已知直线 AB 上一点 C，且有 CA=3AB，则线段 CA 与线段 CB 之比为3：2或3：4。我们可以解得，由于题设强调是“直线AB”，因此，C点的位置是不确定的，首先，当C在A点的左侧时，就有CA:CB=3：4的结果；另外，当C点在B点的右侧时，则有CA：CB=3：2的另一种结果。由上述简单的例子可以总结得出，科学合理地应用分类讨论思想，注重题设本身的可分类讨论性，对优化学生的解题能力有着至关重要的积极作用，应当普遍落实与应用。

四、总结

综上所述，在初中数学教学和学习中落实和优化分类讨论思想的应用至关重要。其不仅可以从根本上提高学生的解题效率和正确率，更能培养学生形成缜密的逻辑思维体系和科学而灵活的归纳总结能力，无论是对初中生现阶段的课程学习，还是对整个初中阶段的知识掌握，乃至未来生活工作中行为习惯的优化等，都有着非常积极的意义。因此，学生、相关教育工作者和教学单位乃至地方政府都应当积极重视起来，真正为优化初中生解题能力做出积极的努力。

参考文献

[1]沈小娥.初中数学分类讨论思想在解题中的应用探究[J]. 数理化解题研究,2017(02):47.

[2]郭海霞.分类讨论在初中数学解题中的应用[J]. 数学学习与研究,2020(16):134-135.

[3]连秋芬.分类讨论思想在初中数学解题中的应用研究[J]. 当代家庭教育,2018(11):94.

[4]柏芹.分类讨论思想在初中数学解题中的应用[J]. 中学生数理化(教与学),2015(03):95.

[5]王宁.“五人小组合作”模式下七年级数学分类讨论思想培养的教学研究[D].陕西师范大学,2017.

唐建1976年出生，性别男，汉族，籍贯福安，中学一级，本科，初中一线数学教师。福安市第五中学。福建省宁德市福安市第五中学，邮编355011