建构画图策略 提升数学思维

建构画图策略 提升数学思维

卢小芬

浙江省台州市玉环市城关中心小学 浙江省台州市玉环市 317600

摘要：多年的教学实践充分证明：借助画图有助于学生更简单、准确和全面地理解题意、解决问题。那么，如何引导学生建构画图策略呢？我们可以尝试着从低段早期渗透图的语言，为培养画图策略做准备；中段规范呈现图的语言，提升画图水平；高段灵活运用图的语言，充分发挥画图的作用。

关键词：画图 提升思维 解决问题

借助画图有助于学生更简单、准确和全面地理解题意、解决问题。“画图”策略作为数形结合的忠实“粉丝”，它能让抽象、枯燥的文字变得直观、形象，可以帮助小学生的数学思考游弋得更深、更远。

一、渗透“图”的语言，培养画图准备

低段学生的思维水平以形象思维为主，没有数学化的积累，脑中有的是生活的经历，因此学生看图总是关注不到数学的信息，容易被其他不重要的细节带跑偏。所以这个阶段需要积极锻炼学生的识图能力，从图到文字，再从文字回到图，实现文字与图画的转化，初步尝试用简单的示意图表达想法。

（一）读懂“图”

读懂图是画对图的基石。如果在低年级的时候，没有帮助学生建立良好的读图习惯，发展良好的读图能力，那么学生以后用图去整理信息解决问题也会存在困难。所以，避免空降画图策略造成违和感，在运用画图策略培养解题能力时，首先要重视对“图”意识的早期渗透和正确引导。回顾教材的内容，不难发现，教材对于画图策略是有系统设计的，在不同的阶段画图策略所承载的任务有所不同，教师要指导学生读懂一些最基本的图。

1.读懂“一一对应”

从一年级上册第一单元比多少这一课开始，教材就有意识地把比较的两种物体排成上、下两行，直观形象地用虚线来表达“一一对应”思想，便于学生看出数量上的“同样多”、“多”和“少”。在教学过程中，学生习惯于先数出每种物体的个数，再根据数出的数量进行大小比较，最后用数学语言来表达两者比较的结果，但这样是远远不够的，教师应注意不要简单地理解成教学数认识的数和比大小，而应该通过符号式的线条帮助学生理解，沟通上下两行图形的内在联系，让学生在观察比较中形成象形线段图的雏形，同时学习“一一对应”的画法，这个是解决相差数和倍数问题的基础。

到二年级下册学习“倍的认识”时，教材除了有实物图操作外，还出现用直条图清晰地揭示了一倍与几倍的关系，开始渗透线段图。这是对“一一对应”更深一步的学习。在这个时候，教师可以先让学生动手摆一摆、对应比一比、相互议一议，在充分感知实物的基础上，引导学生观察象形线段图，理清简单的数量关系，并初步领会线段图的一些基本要素，比如“同一起点”“每个单位长度相同”等，为以后独立画线段图积累经验做好准备。

2.读懂“大括号”

从一年级上册开始，教材就多次呈现了类似下面带有大括号和问号的图示，要求学生从图中找出信息和问题并解答。对于这类问题，教师可在先行示范的基础上，引导学生尝试完整地用三句话表达题意，在图形和语言的转换中帮助学生准确理解大括号和问号的含义，直观感受部分与整体的关系。这些“大括号”的图是解决求总数、部分数的基础，需要学生牢固掌握。

3.读懂“平均分”

二年级“分东西”的活动情境教材中经常会出现，要求“每份同样多”，旨在通过相应的操作活动，让学生建立“平均分”的概念。它是较难理解的数学概念，也是极其重要的数学基石，教师可以引导学生在进一步认识除法含义的基础上，掌握“平均分”的两种画法。这是解决乘法、除法以及乘除法两步计算问题的“地基”。只有充分“打好”数学大厦的“地基”，才能建起思维的“高楼”。

（二）画好“图”

在读懂图意的基础上，教师还要引导训练学生的画图能力，给学生创设画图的时机，借助简单、易画的几何图形，把读到的“图”语言半抽象表达出来。如果仅仅停留在具体实物图的温床里，学生容易对问题表征形式形成依赖性，所以在学习过程中，要转化成图形语言。这时候，教师要“火眼金睛”，寻找学生“作品”中的亮点，给予鼓励和充分肯定，目的在于保护和提高学生“画”的积极性。同时可以根据问题的复杂程度，教给学生不同的画图方法，对于其中太过复杂的图还需要吹尽黄沙始得金。

1.教给画的技巧

二年级下册开始出现两步计算的问题，像先乘后除，先除后乘，连乘等等。通常会出现一个中间量，而怎样寻找中间量对很多学生来说是有一定的难度的。对于此类问题，我们可以试着从问题出发，帮助学生通过画图，逐层解析，在找出中间量的基础上理清其中的数量关系。

比如，教学“15元可以买3支笔，买4支笔要付几元？”时，教师可以引导学生根据要求的问题先画出4支笔一共几元的图，再看图思考：要算4支笔的总价，先要知道什么呢？（如下左图）

在理解图的基础上，学生很容易知道要算4支笔的总价，就先要知道每支笔的价钱，它就是中间量。于是，学生根据题目已知信息，进一步画出“15元可以买3支笔”的示意图（如上右图），求出中间量，进而解决问题。

当然，画图时不一定要求千篇一律，允许个体差异，灵活采用多种画图方法。无论是从信息出发还是从问题出发画，画的过程其实就是帮助学生重新组织问题情境中的信息，并根据已有知识和经验对信息进行区分和整理，找出隐含的信息达到解决问题的目的。

2.体验画的需要

当学生初步掌握了画图的一般技巧后，教师要适时引导学生运用这一技能。通过画图，化抽象为直观、呈现数量关系，化无序为有序、梳理问题规律，凸显画图的功效，让学生体验到画图的重要性，从而产生想画的需求。像一些以纯文字出现的问题，能让学生需要画的体验更深刻。

比如,“树上长着13个梨，摘了一些后还剩4个，摘了多少个？”类似于这样逆向的题目学生就很难理解，由于学生没有理清题中的数量关系，经常会有学生用加法来解决这类问题。如果教师引导学生根据题意画图思考，就能更直观地找出正确的数量关系，从而轻松解决问题。用小圆圈表示13个梨，再把还剩的4个圈起来。这样一圈一画勾勒出已知信息和所求问题之间的关系：总数13个梨被分成两部分，一部分是剩下的，另一部分是摘了的，从总数里面去掉剩下的部分就是摘了的部分，所以用减法来计算。所画的图为梳理出正确的数量关系提供了表象支撑。

教师除了要帮助学生利用画图理清数量关系体验画的需要，更要引导学生通过画图去揭示同类问题中的规律。比如，一年级的比多少问题：“苹果有12只，梨有3只，苹果比梨多几只？”如果学生在一年级时读懂了一一对应的图，那么教师只需引导学生根据题意画出一一对应的图，从图中可以清楚地看到，要求“苹果比梨多几只”，就是从苹果的总数中去掉和梨同样多的3只。

（三）说出“图”

除了培养学生画的兴趣和画的技巧，我们还需要学生根据自己所画的图，尝试用数学化的语言完整地说出图意，以此来判断学生是否真正理解，并找到正确的解题方法。比如在对表内除法进行整理复习时，我让学生把想到的能用“12÷2＝6”来解决的问题画出来，有的学生这样画：画了12根萝卜，还有2只小兔子。明白地画出了“把12平均分成2份，每份是多少”的问题。还有的学生：画了12个圆，每2个圈一圈，表示出了“12里面有几个2”的数学问题。再有的学生画：第一行12个三角形，第二行2个圆形。这不就是“12是2的几倍”的意义吗？通过课堂上生生之间的分享各自充满个性化的画法，灵动解读了图的语言。

综上所述，要使画图策略融入学生的经验长河，在体内自然流淌。教师应该从低段开始，从渗透读图能力开始，鼓励学生画图思考，帮助学生获得画图经验，通过引导和训练，让学生学会把数学情境转化为图形语言，用多元的画图方式表征数量关系，感悟画图思想，促进学生积淀、内化、总结与升华，不断感受画图策略的价值，让“用图助思”成为学生的一种习惯。让学生在读图、画图、说图的过程中积累数学经验，提升数学思维。

二、活用“图”的语言，发掘画图魅力

这时的学生已经具备一定的画图解题能力了，要使学生能将画图策略真正内化成自己的解题策略，随时应用于数学学习，促使学生更灵活地运用图，教师还可以尝试找出将画图法与其他解题方法相互结合来解题的教学素材，深入挖掘图的其他妙用，不断给学生画图策略的价值体验，切实利用好“画图”这根“拐杖”，使抽象的数学概念直观化，使计算中的算理形象化，促使学生将画图法作为常用的思考方法，从而提高学生数学思维能力和数学素养。

(一)利用画图理解概念

小学生学习抽象的概念时总会陷入困境，即使不少学生能把概念背得滚瓜烂熟，依旧无法应用，究其原因就是没有真正的理解。教师在教学时如果能够利用直观图对概念进行具像的解释，可以很好地帮助学生理解，促进概念的掌握。

比如:在教学《分数的意义》这一内容时，为了让学生深入理解分数的本质内涵，笔者设计了三次画图操作的教学环节。第一层次，让学生画图表示分数1／4，学生展示的都是一个物体的1／4；第二层次，笔者让学生根据8个面包、6支铅笔等实物，画出自己创造出来的分数1／4，学生发现，平分的物体总数不一样，结果不一样，但是都可以表示1／4；第三个层次，笔者出示一个物体、一些物体，让学生找到单位“1”，领悟单位“1”，而后根据材料自主创造分数并画出分数，学生感受到分数的意义。通过步步深入的画图，使学生逐步体会到了分数这个概念的内涵，深刻理解分数的本质。

（二）利用画图明晰算法

画图能够使抽象问题直观化，复杂问题简单化。教师如果能巧妙借助图这把解题钥匙，降低解题难度，就能帮助学生轻松开启解决较复杂问题的计算方法，使计算更为简洁。

比如：六年级上册百分数问题：冬冬倒了一杯纯牛奶，先喝了50%，加满水后，又喝了50%，再加满水喝完，冬冬喝的牛奶多还是水多？

这道题初看时似乎很简单，入眼的只有两个数据，但对于小学生来说，就会感到非常抽象，没法理解没有量只有分率的题。但如果学生有了画图的经验习惯，那只要通过画图或画表格来分别表示每次喝下的牛奶和水的分率，答案也就在画图中逐渐明朗了。以下是学生们通过画实物图、示意图，画表格等多种方法来解答这道题：

学生们通过这样多种形式的图示，把三次喝的情况逐一展现，清晰地表示了每次喝后牛奶与水所占的分率，简洁明了且容易理解。特别是前两种图示，非常富有趣味性，充分显示出儿童的无限想象力和创造力。 

美国数学家斯蒂思曾说过：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么就能整体地把握住问题，并且能创造性地思考问题的解法。”由此可见，要培养学生运用画图策略解决问题，就要求学生具备转换的能力。因此，教师在设计教学过程时，应该整体把握画图策略，系统地进行指导，循序渐进，持之以恒，从而系统地帮助学生建构画图策略。引导学生不时地穿梭于图形与意义两者之间，促使学生达到数与形的融会贯通，发展学生的能力，提升数学思维。让我们搭着画图这座“桥”，带领孩子们畅游思维的旅途。

参考文献

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