过定点的直线与双曲线一个交点的讨论、

直线与圆，直线与椭圆有一个交点的情况，根据判别式判断，同学们都比较容易理解，

并能迅速的求出。但是对于直线与双曲线何时有一个交点，这样的直线有几条？学生比较头

疼，现针对过定点做一条直线与双曲线只有一个交点直线的条数做一个探讨。

分析：直线与双曲线有一个交点分两种情况：一种是相交一个交点，即此时是过定点和渐

近线平行的直线；另一种是相切一个交点，即双曲线的切线。

 现在以焦点在x轴的双曲线 和渐近线为例展开证明。

情 况一：过原点作与双曲线只有一个交点的直线的条数

解：设切线斜率为k，则直线的方程为y=kx

切线的斜率与渐近线斜率相同，所以切线不存在；与渐近线平行的两直线，它们与双曲线没有交点

综上所述，过原点与双曲线只有一个交点的直线不存在

情况二：过渐近线上一点P(异于原点)与双曲线只有一个交点直线的条数

解：设切线的斜率为k，则直线的方程为y-n=k(x-m) ，其中P（m,n）在渐近线上,

即 ： （1）

化简得：

判别式化简得： （2）

将（1） 代入（2）式，得

舍去 或 所以切线只有一条直线，还有一条平行于渐近线的直线

综上所述，过渐近线上一点（除去两渐近线的交点）与双曲线只有一个交点的直线有两条

情况三：过双曲线上一点P作与双曲线只有一个交点直线的条数

   解：设切线的斜率为k，则直线的方程为y-n=k(x-m) ，其中 P（m,n）在双曲线上 

  (1)

化简得：

 判别式化简得： （2）

将 （1）代入（2）式， K=

当 m 时也只有一条切线； 当 m 时也只有一条切线,

所以切线方程只有一条， 还有两条平行于渐近线的直线

综上所述，过双曲线上一点与双曲线只有一个交点的直线有三条：其中一条切线两条平行于

渐近线的直线

情况四：过双曲线外且不在渐近线上的点P作与双曲线只有一个交点直线的条数

 解：设切线的斜率为k，则直线的方程为y-n=k(x-m) ，其中 P（m,n）在双曲线外 

化简得： (1)

判别式化简得： （2）

（2）中的判别式

所以（2）式中有两个k, 所以斜率有两个取值，即切线有两条。还有两条平行于渐近线的直线。

 综上所述：过双曲线外且不在渐近线上的点P作与双曲线只有一个交点的直线有四条。

情况五：过双曲线内部一点作只有一个交点直线的条数

由于点在双曲线内部，此时没有切线，只有两条平行于渐近线的两条。

通过上述的证明，过定点作直线与双曲线只有一个交点的情况关键是看这个定点的位置，

现把整个平面分成五个部分：

（1）若定点是两渐近线的交点，则不存在

（2）若定点在渐近线上（不是交点），则有两条：其中一切线，一平行于渐近线

  （3）若定点在双曲线内部，则有两条：没有切线，两条平行于渐近线的直线

（4）若定点在双曲线上，则有三条：其中一切线，两条平行于渐近线

（5）若定点在双曲线外（除渐近线上的点），则有四条：其中两条是切线，两条平行于渐近线。

理解上述问题后，可以迅速作出判断，减少不必要的运算。