“问题导学”在数学课堂多元化教学评价中的实践研究——以《求离心率的大小和范围》复习课为例

“问题导学”在数学课堂多元化教学评价中的实践研究 —— 以《求离心率的大小和范围》复习课为例

陈烈

广西南宁市第三中学（ 530021）

[摘要]“问题导学”复习课教学模式包含四个环节：知识回顾——自主构建——应用探索——总结归纳。本文以《求离心率的大小和范围》为例，阐述在“问题导学”复习课教学模式指导下进行教材分析、教学设计和教学反思实践研究。以“问题导学”复习课教学模式开展教学，践行对学生实施数学思维育人模式，促进教师专业水平的提高。

[关键词]问题导学；复习课；实践研究

依据数学知识规律，通过特定的课堂教学活动对学生原有的知识结构进行完善、拓展的课型称为复习课。复习课是高中数学课堂教学极为重要的一环，是学生巩固数学知识，培养数学思维能力，形成数学核心素养的有效途径。

黄河清老师长期在高中数学教学一线，在实践中逐渐探索出“问题导学”教学法，我校数学教师在“问题导学”教学法理论的影响下，在课堂教学中加以实践，硕果累累。“问题导学”复习课教学模式包含四个环节：知识回顾——自主构建——应用探索——总结归纳。每一个环节都有导向性的问题设置，结合教学目标和数学规律，在课堂教学中层层递进，引导学生进行高水平的数学思维训练，进而促进学生的数学核心素养的提升。

本文以《求离心率的大小和范围》为例，阐述“问题导学”教学法在复习课中的教学设计、实践与反思。

一、教材分析

离心率是刻画椭圆扁平程度、双曲线开口大小的一种度量，是圆锥曲线重要的几何性质.求离心率的大小和范围问题是高考数学的热点和难点。离心率既可以考查圆锥曲线的定义和性质，也可以结合平面几何、三角函数和平面向量等内容综合考查，同时还能深入考查考生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力以及数形结合、转化与化归和函数与方程等数学思想.因此在历年高考中备受命题者青睐.在高考一轮复习中，我们复习不仅要求求全，更要求“联”.而在二轮复习中，我们是不在求全，而应求“变”.基于以上理念，设计本课题教学.

本节课是圆锥曲线求离心率问题的复习课，旨在通过精心设计的课堂教学活动，巩固学生的基础知识，拓展知识结构，掌握求解的方法。

二、教学设计

（一）知识回顾

我们知道离心率 是刻画椭圆扁平程度双曲线开口大小的一种度量.

如图所示：

问题1：请你说说，在椭圆和双曲线中哪些线段分别表示

设计意图：复习椭圆和双曲线 和对应线段的关系，复习离心率的定义和范围。

（二）自主构建

问题2：请同学们做以下题目：

（1）双曲线 的离心率为________.

（2）椭圆 的一个焦点为 ，则 的离心率为________.

并思考这两道题目的相同点和不同点.

设计意图：这两道题目的共同点是 可以直接求解，离心率也就直接求解，不同点是第（1）题已知 ，可以求 ；第（2）题已知 ，可以求 .

例1．（2017新课标Ⅱ）若双曲线 ： 的一条渐近线被圆

所截得的弦长为2，则 的离心率为（ ）

A．2 B． C． D．

解法一：

【师】：本题和前面两题有什么区别？

【生】：前面两题直接可以求解 本题不能直接求解.

【师】：如何寻找关于 的等量关系？

【生】：我们可以从几何图形中寻找.

【师】：同学们，请在三角形背景下寻找关于 的等量关系，在 中， ,可以求解哪条线段的长度？

【生】：可以做圆心到弦长的垂线，得到弦心距为 .

【师】：我们求解的弦心距 和双曲线中的 如何建立关系？

【生】：通过点到直线的距离公式可以建立关于 的方程.

解法二：

【师】：请同学再观察 ，该三角形有何特点？

【生】： 是正三角形.

【师】：在 中， 的大小是？

【生】： 等于 .

【师】： 和双曲线中的 如何建立关系？

【生】： .

问题3.通过以上几道题目，你能归纳出求离心率大小的基本方法吗？

设计意图：本题不能直接求解 的值，如何建立关于 的等量关系？通过老师不断的引导，学生探索发现，建立等量关系。学生先归纳总结，之后老师在学生归纳总结的基础上补充完善，归纳总结求离心率大小的基本方法：（1）通过已知条件画出几何图形；（2）通过图形列出关于 的等式；（3）解等式（常化为 的齐次式）.

（三）应用探索

例 2.双曲线 的两个焦点为 若 为双曲线上一点，且 求 离心率的取值范围.

解法一：

【师】：本题和例1有何不同？

【生】：例1是求解离心率的大小，本题是求离心率的范围.

【师】：本题中哪些条件是固定的？

【生】： .

【师】：哪些条件是运动的？

【生】： 为双曲线上一点.

【师】：动点意味着变化，变化就会产生不等关系，请看在哪些位置有变化？

【生】： 点从右上方运动到

点， 的长度逐渐变小，从 点运动到右下方， 的长度逐渐变大.

【师】：你能用从 来表示这些变化吗？

【生】： .

解法二：

【师】：我们观察 ，你能用 来表示这些变化吗？

【生】：

解法三：

【师】：我们学习了双曲线的第二定义， 的长度如何表示？

【生】： .

【师】：参考解法一，我们能用从 来表示 吗？

【生】： .即 .

【师】：本题中双曲线的范围是？

【生】： .亦即 .

问题4.通过以上解法，你能否归纳出求离心率范围的方法？

设计意图：本题是求解离心率的范围.解决本题的关键在于确定 的不等关系，题目只给了两焦半径的等量关系，难点在于挖掘题目中的隐含条件确定不等关系.一方面我们可通过几何图形定性分析，找到边的不等关系，另一方面，也可通过定量计算，利用双曲线的性质范围由方程过渡到不等式，从而确定不等关系.通过三种解法，引导学生总结归纳出求离心率范围的方法：（1）通过已知条件画出几何图形；（2）通过图形列出关于 的不等式；（3）解不等式（常化为 的齐次式）.

问题5：若将条件 改为 结果又会怎样呢？

设计意图：在双曲线中，当两个焦半径边的数量关系由具体过渡到抽象时，考查离心率的变化情况.通过变式训练，加深对求离心率范围问题求法的理解.

问题6：在问题5的前提下，若将条件双曲线 改为椭圆 ，结果又会怎样呢？

设计意图：将圆锥曲线类型由双曲线改为椭圆，其他条件不变，离心率的变化范围又会怎样呢？题目的变式，考查学生对于条件的变化后对求离心率范围问题的掌握情况，满足不同层次学生的学习需求，提升学生数学核心素养水平.

（四）总结归纳

问题7.本节课我们复习了哪些知识？用到了哪些数学思想方法？

（1）求离心率的基本步骤

①通过已知条件画出几何图形

②通过图形列出关于 的等式

③解等式（常化为 的齐次式）

（2）求离心率范围的基本步骤

①通过已知条件画出几何图形

②通过图形列出关于 的不等式

③解不等式（常化为 的齐次式）

(3)用到了数形结合、转化与化归、函数与方程的数学思想.

设计意图：学生通过总结归纳，完善数学知识结构，掌握数学思想方法，培养数学核心素养.

三、教学反思

复习课是比较常见的课型。复习是完善、深化学生知识结构关键环节。多元化评价深度融入课堂教学中，老师以问题设计作为引导，学生在一系列具有递进性、挑战性和探究性问题的引导下开展教学，进行高水平的思维训练。学生在评价中既可以巩固消化数学知识，又可以促进知识内化。还可以培养学生在思考问题的时候注重数学本质、去伪存真、举一反三的思维方法，逐步提升数学核心素养。

以“问题”为载体，以学生的“学”为目标，以教师多元化设计的“导”为主线组织课堂教学，这是基于多元化评价的问题导学核心所在。老师在进行教学设计的过程中，既要考虑知识之间的联系，又要考虑知识的变化，还要考虑学生的学情等情况进行评价设计。为此，教师在设计的时候会对专业的知识进行深入的探讨和研究，潜移默化之下，教师的专业水平得到极大的发展。另外，课堂评价得到体现，真正实现教学相长。

注：本文系广西教育科学规划2021年度B类课题“新高考下数学课堂多元化教学评价的实践研究”（编号：2021B253）的研究成果。

参考文献

[1]陈康,黄河清.《黄河清“问题导学”教学法》复习课教学课例评析[J].中学教学参考,2012(08):4-6.

[2]韦艳君.复习课中“问题导学”的实践研究[J].中学教学参考,2019(20):5-6.

[3]王克亮.高三数学复习课中“问题导学”的实践[J].数学通报,2015,54(03):44-46.

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