分类讨论思想在初中数学解题中的应用探析 ——以三角形解题为例

分类讨论思想在初中数学解题中的应用探析 ——以三角形解题为例

刘玲玲,汤强,陈红菊

西华师范大学 四川南充 637000

摘要：初中数学解题常常用到分类讨论思想，应用分类讨论思想能提升学生解题能力，有助于学生建构完整的知识体系。文本通过分类讨论思想在三角形解题中的应用来说明其在初中数学解题中的运用。

关键词：分类讨论；初中数学解题；学习效率

一、分类讨论思想概述

1. 分类讨论思想在初中数学解题中的意义

在初中数学的学习中，理论知识越来越繁杂，解题思路也越来越广泛。分类讨论思想是指在数学解题过程中，由于答案不唯一，就需要运用分类讨论思想对符合题设要求的情况逐一分析讨论。通过分类讨论的方式，可以将数学题目“化繁为简”，“化难为易”，“化抽象为具体”。应用分类讨论思想有助于使学生对已经掌握的知识进行横向联系，形成完整的知识体系，提升学生解题的效率，锻炼其思维能力。

2. 分类讨论思想在初中数学解题中的原则

    首先，应遵循同一性的原则。在使用分类讨论思想时采用同一种标准对数学问题进行分类，在对数学问题进行分类时需要注意分类的对象不能有重叠或遗漏，否则这样的分类就没有实际意义。

    其次，应遵循多层次性的原则。对于需要多次分类的对象，需要根据分类的标准，对研究对象进行逐层分类。确保层与层之间的关系能够直接展示出来，在分类过后，各组成部分相互独立，不能出现交集，这样的分类才有实际意义。

二、分类讨论思想在三角形解题中的具体应用

分类讨论思想在初中数学三角形解题中的应用可以大致总结为四种类型：一是由于三角形的形状不确定的分类讨论。二是由于等腰三角形的腰与底不确定的分类讨论。三是由于直角三角形的斜边不确定的分类讨论。四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定的分类讨论。                                    

接下来分别以一道例题来说明分类讨论思想在初中三角形解题中的应用。

1、基于三角形的形状不确定的分类讨论

例1、 在△ABC中，∠B＝26°，AD是BC上的高，并且，

则∠BCA的度数为_____________。

            图1                             图2

解析：在对此试题进行解答的过程中，该题设未说明三角形的形状，因此需要用到分类讨论思想。由于题目△ABC的形状不确定，所以需要分为当△ABC为钝角三角形，直角三角形和锐角三角形三种情况进行分类讨论。

（1）如图1，当△ABC为钝角三角形，此时高AD在三角形内部，因为，所以△CAD∽△ABD，所以△ABC为直角三角形。因为∠B＝26°，所以∠BAD＝64°。即∠BCA＝∠BAD＝64°。

（2）当△ABC为直角三角形，此时高AD与AC重合，不符合题意，舍去。

（3）如图2，当△ABC为锐角三角形，此时高AD在三角形外部，

因为，所以△ABD∽△CAD。即∠B＝∠CAD＝26°

∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝26°＋90°＝116°

2、基于等腰三角形中腰不确定的分类讨论：

例2、已知△ABC为等腰三角形，△ABC一边等于12，另一边等于5，则它的周长等于_________。

解析：在对此试题进行解答的过程中，由于△ABC的腰不确定，所以我们要进行分类讨论。在该题中分为腰为12和腰为5两种情况进行讨论。

  （1） 当腰为7，底边长为5，△ABC三边分别为12，12，5。此时三角形的周长C=12+12+5=29。

  （2）当腰为5，底边长为7，△ABC三边分别为5，5，12。此时三角形的周长C=5+5+12=22。

注：注意能围成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。此时需要运用分类讨论思想对答案进行验证。当三边长分别为12，12，5，能围成三角形；当三边分别是5，5，12，不能围成三角形，此时答案应该舍去。所以此题答案只有一个。在答案验证的过程中也使用了分类讨论思想。

3、基于直角三角形中，直角边和斜边不明确时的分类讨论

例3、 已知△ABC为直角三角形。x，y是△ABC两边的长，满足，则第三边的长为_____________。

解析：在对此试题进行解答的过程中，由于在△ABC没有明确直角边和斜边，所以需要分类讨论。此题中需要分为当较长边为斜边和当较长边为直角边两种情况进行讨论。

由，可得且，解得。较长边是3，所以需要需进行以下讨论

（1）当3为斜边时，第三边长：。

（2）当3为直角边时，第三边长：。

4、基于相似三角形对应角（或边）不确定时的分类讨论

例4、如图3所示，在中，是的中点，过点的直线交于点，若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形相似，则的长为_____________。

图3

析解：在相似三角形的判定过程中，如果对应边，或者对应角不确定时，此时需要分类讨论。由于以为顶点的三角形和以为顶点的三角形有一个公共角，因此依据相似三角形的判定方法，过点的直线

应有两种作法：

(1)一是过点作∥，这样根据相似三角形的性质可得，即，解得；

(2)二是过点作，交边于点，这时，于是有，即，解得. 所以的长为3或。

三 、结语

综上所述，在初中数学的解题过程中，将分类讨论思想应用于其中，能够学生对分类讨论的对象以及分类讨论的标准形成深刻认识。这样既能提升学生数学解题的思维，又能提升学生对数学学习的兴趣。分类讨论思想是初中数学重要的解题思路，需要教师在日常教学中不断指导，渗透到解题过程中，并不断培养学生的思维缜密性、条理性和提高学生分析和解决问题的能力。

参考文献

［1］赵济⺠. 分类讨论思想在初中数学解题教学中的运⽤探究［J］.新课程，2018(03) : 94.

［2］陈⼤兵. 初中数学分类讨论思想在解题中的应⽤探索［J］.试题与研究: 教学论坛，2018(21):38.