一题多解——解三角形

一题多解——解三角形

叶晨嘉

福建省厦门市金林湾实验学校

摘要：通过一道解三角形的题目，探索一题多解，分析解题方法，结合美国数学家波利亚的解题策略，阐述从边的角度入手以及从角入手的差异，揭示遇到问题具体分析，选择合适的解题方法.培养学生的数学核心素养，与时俱进，紧跟时代的步伐，增强创新意识和应用能力.

关键词：三角形；解题策略；核心素养

时代的变迁与社会的高速发展，对当代学生的能力提出更高层次的要求，21世纪中学生需具备良好的数学核心素养，从而相应提高自己的素养，分析问题，专研问题，寻找解决的路径，深化创新意识和应用能力.

普通高中数学课程标准已于2018年在福建省全面铺开，发展学生的数学核心素养则是其中的重中之重，一题多解有助于提高学生数学学习的兴趣.方法的探索，严谨的解题过程推导，促进学生实践能力的提升以及创新意识的发展.从一道解三角形出发，根据常规解题思路分别为从角从边入手，寻求解决问题的方法，解题过程中遇到的困难以及困难的突破，一题多解扩充解题思路，加强应用数学知识解决问题的能力，发展学生创新意识.结合美国数学家波利亚的解题策略“弄清问题”、“拟定计划”、 “实现计划”和“回顾反思”，在解决问题的过程中面临的问题，以及应用隐藏的辅助条件，达成通往解题的桥梁.最后回顾反思，寻找最优解，以及这一类问题的分析方法，总结提升，提高学生的能力.

一、问题的提出

已知，D为BC上的点，，，求当BD最大值时，AC的边长.

二、分析问题

波利亚解题策略的第一步为弄清楚题目，需弄清楚已知数据，画出题目所需图像，找出已知数据与所需要求解的未知数的关系，引入适当的符号，帮助充分理解题意.数学核心素养中数学抽象表明用数学语言阐述问题，充分理解题目的本身，同时形成理性思维，体现数学的本质，使学生能提高相应的关键能力.从题目可知这是一道解三角问题，因此需要画出相应的图形帮助理解问题（图一），从图形中可知∠ABC=∠ABD+∠CBD=150°，根据已知解题经验，可从边或角入手解决问题.

三、解决问题

波利亚在拟定计划中提出“你以前见过它吗？回顾之前的类型题，从以往经验出发，根据解三角形的解题经验，先从边的方面进行解决问题，核心素养中逻辑推理也阐明逻辑思考问题，把握事物之间的联系，探索解题过程.

在分析问题中得到，, ，令, ，则 ，可得(如图2) .因为求BD最大值，从边入手，需找到之间的关联，找到所得数据与BD的关系. BD在和上，，，通过图形与已知条件，可得，

即，，，

此时可通过计算的最小值，从而得到BD的最大值.

方法一：，求的最小值，即

的最小值为，，当且仅当时等号成立，可得，

，.

在求最值时运用化归转化的数学思想方法，用均值不等式来求最值.

方法二：，，令，此函数为打勾函数，

当时，即有最小值，此时，，.

构造函数，应用函数与方程思想，转化求函数最值，最终的到结果.

方法三：假设一个角度，将所有的已知量转化用此角度表示.

假设,则，，

，，即得，将AB与BC用含的式子表示

在中，，得.在中，，.因为，可得

此时需要应用三角函数公式进行化简，从而求出BD的值，求出AC的长.

，

此时根据解题经验转化为同名三角函数，即上下同除,

， ，，转化为函数，令，，，令，则，

，，，即，，，，即，，， .

可见此种方法思路清晰，但计算量大，如果换角度设为参数则可简化计算量.

方法四：令，则，，

可得，，，

将齐次的三角函数转化为同名三角函数，即上下同除,

，，，

观察等式，巧设换元，化为二次函数求最值，从而得出BD的最大值.

，，，

即，

，，

此方法的关键是发现与互为补角，根据诱导公式可简化计算过程，并最终求解答案.

方法五：以B为原点，AB为轴，过B做AB的垂线为轴，建立直角坐标系.

设，，，得，易知，

，直线AC：，直线BD：.

联立直线AC与直线BD可得，，

当且仅当等式成立，，，，，

此方法是将几何问题转化为代数问题，用解析几何的方法求解平面几何问题.

四、回顾提升

波利亚的解题策略中执行计划时需要检验每步的正确性，方法一与方法二执行计划中的难点是不易想到边长AB、BC、BD之间的关系，三个未知数的关系不知如何建立，因此无法执行下去，此时需回归条件题目本身，找寻关系，应用已知经验以及解题信心寻找突破口，建立等式关系后，运用均值不等式或者转化函数求值思想即可得到答案.当学生能用此种方法得出结果表明其数学核心素养中的数学抽象达到水平二，能用数学语言进行表达，将文字图形转化为数学语言并且进行相应的数学推理和论证.方法三与方法四思维过程简单，但需要较强的数学计算功底，特别是方法三，学生需化简，换元，转化函数，应用倒数求极值从而得出相应的最值，其数学核心素养能力的数学运算达到水平三.面对计算问题，能找寻计算方向，明确计算程序，最终求解答案.方法四说明角度的适时选取可简化计算过程.这其中需要观察图形的特点，深知三角函数诱导公式的特点巧设参数.结合以往计算经验，构造二次函数，得出结果.方法五是用解析几何方法解决平面图形问题，方法需要学生建立合适的坐标系，并求解各个点的坐标，思路方法也较简单，但需要学生有较强的计算能力，能将所需结果计算出来.

波利亚的解题策略的第四步为回顾反思，解三角形的题目从边或角方面入手，求边的最值常用均值不等式，提升思维能力，能简化计算过程，提升解题速度.从角方面入手，思维过程较易，但需要复杂的计算才能得到所需结果.对这一类解三角形问题分析总结能提升解题能力，并提升相应的数学素养.

参考文献

[1]普通高中数学课程标准[M]．北京：人民教育出版社，2017．

[2]波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].上海科技教育出版社出版，2011.

[3]波利亚.数学与猜想：合情推理摸式[M].科学出版社出版，2001.

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