提升高中数学抽象素养的方法探索

  提升高中数学抽象素养的方法探索

周园

广东省中山市第一中学高中部    528400

摘要：数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。而数学抽象素养位于高中数学核心素养之首，同时也是高中数学需要培养的能力之一，具有十分重要的意义。本文结合本人教学经验，从观触制作、动态演示、联系实际、纵横对比、分层设问这五个方面来探索提升高中数学抽象素养的有效方法。

关键词：高中数学  抽象素养 方法

一、问题的提出

   核心素养这一概念于2014年被首次提出，经过几年的发展和完善，核心素养已经成为普通高中课程标准的重要育人目标，而数学抽象素养正是其重要组成中的一部分。

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。它从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。其主要表现为形成数学概念和规则，形成数学命题和模型，形成数学方法和思想，形成数学结构和体系四个方面。数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础。在高中数学学习阶段，教师培养学生形成数学抽象素养，不仅可以让学生明确数学概念，掌握解题方法，构建完整的知识体系，还能够使其掌握数学内容的本质和基本思想，并形成理性思维。那么，如何在数学教学中科学、有效、合理地培养与提升学生的数学抽象素养呢？

二、问题的解决探索

（一）观触制作，将抽象具体化

立体几何是高中数学的重要组成部分，直接展示和触摸具体的几何体能够激发学生的学习热情。在讲述这部分内容时，教师可以给学生展示柱、锥、台、球等教具，学生通过观察、触摸到这些几何体，会有直观的感觉和亲身的体验，会进行区分比较，发现它们的联系和区别，并找到各种几何体专属于自己的特定条件和特征。以可以拆分的三棱柱这一模型为例，它可以拆成三个体积相等但不一样的三棱锥，学生通过自己拆分和拼接，更能深刻体会到等底等高的锥体的和柱体的体积比是，对柱体、锥体的体积公式有更深入的理解。除了教具之外，教师还可以启发学生发现身边的几何体，如教室、教室的一个角落、粉笔盒、篮球、水杯、方便面碗等可分别作为长方体、直三棱锥、正方体、球体、圆柱、圆台的实物代表，通过观察触摸这些生活中的物体，学生可以获得更好的立体感知，增强空间想象力。

在教学过程中，教师也可以带领学生一起动手做实验，通过有趣的实验来体会抽象的数学概念、定理等。例如，在讲授“线面垂直的判定定理”时，先让每位同学准备一块三角形的纸片，标记顶点A、B、C，然后经过A点翻折纸片，最后将纸片竖起来放置在桌面上，看怎么样翻折才能使折痕与桌面垂直。在探究的过程中，学生通过不断思考、尝试、探索和调整，可以更切实地体悟到线面垂直的关键要素——两条相交直线。“自己动手，丰衣足食。”在数学的世界也是一样。学生自己动手，既能锻炼动手操作能力和实践探知能力，也能在制作的过程中能感受到抽象的几何概念、公式、定理的真实依据。化抽象为具体，是提高抽象素养的重要途径。

（二）动态演示，将抽象形象化

动态演示就是利用多媒体技术，使用形、声、色、光等元素，将数学知识及方法动态展示出来，让学生形成具体形象和感性认识，从而领会知识和方法。动态演示能有效地变抽象为形象，变枯燥为有趣，变静止为灵动，变复杂为简单，激发学生学习兴趣，提高学生的学习效率。特别是多媒体的动画效果能展示许多复杂的数学动态过程，再现知识的形成发展历程，使教学中较为抽象、难懂的知识变得容易理解和掌握，是传统教学手段所无法获得的。 

例如，在学习指数函数的相关内容时，由于纸张篇幅的所限，学生自己画图不容易找到指数函数 和二次函数 的图像变化的差异，经常会把这两者的图像弄混淆。为了能够使学生正确掌握函数图形，了解指数函数与二次函数之间的区别，老师可以运用几何画板，采用数形结合的方式，动态展示出两个函数图像上的点的运动过程和运动轨迹，让学生更直观地感受到两类函数图象都是在第一象限内递增，但是，随着的增大，二次函数增长的速度虽然有所加快，但是远没有指数函数的增长速度快，指数函数到后面几乎呈陡直增长，所以有一个著名的词语形容指数函数：“指数爆炸”。运用动态演示可以让学生更好地掌握图形的运动规律，把指数函数和二次函数轻松地区别开来，也为后面等比数列、导数的学习奠定基础。化抽象为形象，是提高抽象素养的有力途径。

（三）联系实际，将抽象生活化

数学来源于生活，并且服务于生活，数学和生活密不分。恩格斯曾说过：“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。”在高中数学学科中有许多概念都来源于实际生活。因此，当遇到这一类知识时，教师可以采用链接生活的方式，以具体的生活实例为切入点来引导学生经历知识的形成过程，并通过感受具体的生活实例中抽象出数学的相关知识，让学生更真切地感受到数学的实际应用价值，进而有效地提高学生的抽象素养。

例如，教师在讲授：“频率和概率的关系”时，可以以一个故事为例，来解释生活中的随机性。有这样一个笑话：一个病人去医师处看病，检查后，医师告诉病人说需要动手术。病人问这项手术的死亡率有多大？医师说，这项手术一百个病人中会有五十人死亡，但他安慰病人说，你不必害怕，这项手术已有五十个病人死去。（言外之意是下一个手术病人不会死了。）（出自《吴大猷文集》）这个笑话混淆了频率与概率的概念。因为这项手术的死亡率是经过大量手术得到的手术死亡的概率值。概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，反映的是大量试验中某一事件发生次数的规律。而频率指的是有限次试验中的某一事件发生的比例，是具有偶然性的。笑话中手术的死亡率是0.5，但并非100个这样的手术就一定有50个病人会在手术中死亡。通过这样一则笑话的引入，学生可以更好地体会概率和频率之间的关系——概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值。学生也更能体会到数学的抽象概念是对现实世界的客观规律的描述，它并不是遥不可及、高不可攀，相反，它是我们用来充实智慧、认识世界、改造世界的有力武器。

（四）纵横对比，将抽象迁移化

数学知识是成体系的，并不是零散而杂乱无章的。教师在讲解一些新的公式、概念、定理时，可以和旧知识进行横向或纵向的对比，进而让学生在已有的知识的基础上，对旧知识进行迁移、类比、扩充、发散等，通过各种思考更好地理解和体会新的知识内容，让头脑中的数学知识体系更加系统化、丰富化。

例如，教师在讲解台体的体积公式时，如果单单让学生记住其公式，学生会觉得较难记忆，但是如果提出问题：（1）若，体积公式怎么写？（2）若 ，体积公式怎么写？学生思考之后，会突然发现将上下底面特殊化之后，台体体积公式竟然可以变成锥体和柱体的体积公式，原来认为锥体和柱体可以看作台体体积的一种特殊极限情况，台体是介于锥体和柱体的一种中间状态，台体的上下两个底面都要在体积中发挥作用。这样，学生对于台体公式的理解就更加深入，也消除了对公式的陌生感。又比如教师在讲解数列的时候，可以和函数进行纵向对比，了解到数列是一种特殊的函数之后，函数的一些性质如周期性、对称性等也可相应地应用到数列里。再比如我们学习等比数列的概念和性质时，可以和等差定义的概念和性质进行横向对比；学习双曲线的定义和性质时，可以和椭圆的定义和性质可以进行横向对比。这样，新的数学知识可以逐步地转化为我们熟悉的知识的迁移、变形和拓展，学生学习起来就没有那么困难。这些例子说明数学的知识不是零散的，而是串联起来的，教师要努力寻找那一根根线，将数学知识海洋里的一颗颗珍珠串联成一串串美丽的珍珠项链。在教师纵横对比的引导下，学生能够从旧知识迁移至新知识，发现新问题，解决新问题，学生的数学抽象素养就可以得到快速提高。

（五）分层设问，将抽象层次化

建构主义教学认为，学生的学习不应该是一个被动的吸收知识——单纯记忆——机械练习的过程，一个有意义的学习过程应该是学生以积极的心态调动已有的知识和经验，同化新知识，解决新问题，并建构他们自己的认知这样一种过程。而且学生理解过程是一个由易到难，由简单到复杂，循序渐进、逐步提高的过程。教师在教学中应遵循这一认知规律，创设“循序渐进的问题情境”，分层次提问，由浅入深，有助于学生在已有的知识和经验的基础上建构自己的知识，认知水平从一个阶段走向更高的阶段。教师可以把一些难的知识设计为层层递进的问题，既降低了知识难度，又让学生体验到知识的生成过程，进而提高学生的数学抽象素养。

例如，教学在讲授数列中“已知 ，求。”这个知识点时，由于这个问题很抽象且涉及到逆向思维，大部分学生是很难自行得到正确结果的，而且即使给出结论学生也难以证明，也特别会费解为什么是分段形式。那么教师在提问时可以采用逐层设问来降低难度，引导学生一步步思考，观察，最终猜测出正确结果并证明出来。我们可以这样设问。问题1： 如何用 表示？问题2：猜测 如何用 表示？问题3：请你证明你猜测的结论。问题1是求最为特殊的前四项， 显然可以得到， 也容易得到，接下来 也类似可以求出，考查学生特殊化的能力。问题2猜测通项可以通过观察第1问的结果得到，考查学生区分比较能力及归纳总结能力。问题3是证明通项，考查学生从特殊到一般、由具体到抽象的概括能力。本题的教学设计以学生的认知水平为基础，逐层设问，层层递进启发学生思考，引导学生充分参与到公式本质特征的抽象概括的活动中来。学生在此过程中自然而然地体会到从特殊到一般、求同存异、由结论找过程等丰富的数学思维方法，而且对公式的产生、证明过程理解清晰透彻、掌握深刻。学生由此可以感受到数学抽象出现的公式并不难，相反，它生动有趣而又美妙，同时也富含哲理。

三、结束语

我们教师可以从观触制作、动态演示、联系实际、纵横对比、分层设问这五个方面来提升高中学生的数学抽象素养。这就要求我们要有一双慧眼去发现生活中的数学并引导学生去观察发现数学的来源及作用，要合理地构建各种活动情境，使用合适的教学方法，使学生逐步抽象出相应的数学概念、公式、命题、图形、方法和体系等，养成思考问题的一般性习惯，并进一步归纳总结，进而把握数学问题的本质属性，达到抽象概括、化繁为简的目的，从而提高数学抽象素养，并借助数学抽象的核心素养与思维方式来思考、分析与解决实际问题。

参考文献：

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