金华市南苑小学 321027
无论是学生全面发展的促进，还是学生核心素养的教育，都有赖于一种更具整合性的教学样态，大概念为整合性教学提供了一个新的理念指引。普通高中新课程标准指出：“进一步精选学科内容，重视以大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实。”小学数学作为最基础的数学，更应该从小培养科学的学习观念和思想方法，让后续的学习更具生长力。大概念作为思想方法的引领，那么学习路径的分析，则有利于教师设计合理的教学流程，帮助学生建构系统性的知识框架，促进学生对知识的真正理解。
本文阐述了大概念统领下，学习路径支撑的《小数意义》十进制的反向延伸建构的教学设计思路。
一、大概念统领下的“数的认识”学习路径分析
分析北师大版教材，不管是整数、小数、分数，数系的规则都是基于“1”的十进制生发，10个10个往大了生发，产生更大的新的单位和新的数位，往小了10份10份分，产生更小的新的单位和新的数位。分数则是更加普遍意义的“分”，可以分成任意份，产生新的分数单位。综上分析，数的认识基于“单位”，单位的基本原则是十进制。基于以上分析，笔者认为，数的认识，是按照十进制的规则，创造新单位，然后各个计数单位累加，组合成新的数，所以核心数的认识大概念应该是“源于”，核心大概念是“十进制、位值制”的认识。（见表1）。
册别 | 数的认识 | 通用大概念 | 核心大概念 |
一上 | ·10以内数的认识 ·20以内数的认识及大小比较 | 源于 | 十进制、位值制 |
一下 | ·100以内数的认识及大小比较 | ||
二上 | / | ||
二下 | ·万以内数的认识及比较大小 | ||
三上 | ·元、角、分与小数的初步认识 ·元、角、分背景下一位小数的比较大小 | ||
三下 | ·分数的初步认识 ·同分母（分母小于10）分数的大小比较 | ||
四上 | ·亿以内数的认识及比较大小 ·自然数、整数、整数、负数 | ||
四下 | ·小数的再认识及比较大小 | ||
五上 | ·倍数、因数、质数、合数 ·分数的再认识及比较大小 ·分数与除法的关系 | ||
五下 | / | ||
六上 | ·百分数的再认识 | ||
六下 | / |
（表1）
十进制、位值制一直贯穿于整数、小数认识的每一个阶段。分数单位的认识，是基于十进制知识迁移。20以内数字认识的时候，学了十进制，到了百以内数的认识的时候还要学什么？万以内数的认识呢？更大数的认识呢？在每个学习阶段，都要把十进制、位值制重新学习、体验一遍吗？并不是，十进制、位值制的学习是有关键学习节点和后续生发的过程。
十进制、位值制的理解主要有三个侧重点：一是满十进一是可以迁移的，相邻数位都可以这样；二是可以按不同数位进行数数，这是对数的大小估计的重要方法；三是数是由各个数位上的数值累加得到的。如5732是由5个千，7个百，3个十，2个一累加起来。所以，十进制、位值制的学习是层层递进的，教学的设置要基于整个数的认识系统中，有连续性的递进性得进行设计。具体递进的层次，如表2：
册别 | 数的认识 | 十进制、位值制层层递进阶段划分 |
一上 | ·10以内数的认识 | 体会用10个数码符号来表示数量，并能一个一个累加和递减，并能比较大小。 |
·20以内数的认识及大小比较 | 9到10的认识，不如11的认识重要，9到10学生可以去观察，跟前面有什么不同。学生至少要能说出两点和前面的不同，一是没有再用新的符号，而是用了2个数字。但真正位值制的初步渗透，应该在11的认识。11的认识，除了两个1有什么不一样，其实还有很多层次，比如，用11根小棒表示11；然后是11根小棒，可以把10根绑起来；之后是能不能用2根小棒表示11，但首先这两根小棒要不一样，先体会“值”的概念；然后是2根一样的小棒怎么表示11，才出来“位”决定“值”的概念，最后才是计数器。 | |
一下 | ·100以内数的认识及大小比较 | 体会，每个数位都可以数，每个数位都最大数到9，然后进阶到下一位。 |
二上 | / | |
二下 | ·万以内数的认识及比较大小 | 继续体会每个数位都可以数，每个数位最大数到9，经历十数到百，百数到千，千数到万，数出新单位的这个过程一定要丰富，每一位都要数，体验新数位就是由前一个数位数出来的，像999数到1000这种活动，要在9百数到1000的后面再去体验，因为这个要经历3次进位。 到这个阶段，十进制已经建立完成。 |
三上 | ·元、角、分与小数的初步认识 ·元、角、分背景下一位小数的比较大小 | |
三下 | ·分数的初步认识 ·同分母（分母小于10）分数的大小比较 | 分数单位的累加是十进制学习方式的迁移。 |
四上 | ·亿以内数的认识及比较大小 ·自然数、整数、整数、负数 | 学生在这一个阶段，已经明确十进制、位值制的规则可以一直适用，能不断产生新数、新的数位，各个数位上的数值相加就是这个数的大小。新的问题是，不断产生新的数位，怎么办？于是人类文明的通法：变成一段一段来认——分级。这样所有自然数就认识完成了。 |
四下 | ·小数的再认识及比较大小 | 小数的认识就是满十进一的反向延伸，不仅可以十个十个组起来，也可以十个十个来分，而且，每一个数位都是可以拿来数的。一样先把1分成10份，得到0.1,0.1再分成10份，得到0.01，而不是1直接分成100份到0.01，不符合十进制的逻辑生发。 |
五上 | ·倍数、因数、质数、合数 ·分数的再认识及比较大小 ·分数与除法的关系 | |
五下 | / | |
六上 | ·百分数的再认识 | |
六下 | / |
（表2）
基于以上分析，十进制的内涵学习，分为下面几大阶段：
二、《小数的意义》教材分析、学情分析
基于以上的一些思考，反观北师大版小学数学四年级下册第一单元《小数的意义和加减法》，我对其中的“小数的意义”这几个课时开展了研究与分析。
（一）教材内容分析
内容 | 课时 | 具体目标 |
小数的意义（一）（认识小数的意义） | 1 |
|
小数的意义（二）（进一步认识小数的意义） | 1 |
|
小数的意义（三）（认识小数的计数单位） | 2 |
|
比大小（小数的大小比较） | 1 |
|
通过分析教材和教参，我们发现，小数的意义教材用了4个课时，认识的顺序是：第一课时，先基于生活模型联系分数引出简单的小数，并用面积模型支撑小数与分数的联系；第二课时再基于生活模型联系分数，引出更复杂小数的认识；第三课时才回到小数基于十进制的计数单位的理解。这样的教学顺序弊端是，割裂了十进制和小数计数单位的联系，反而需要分数作为现实支撑，而且这里分数，如
米、
千克，又是作为“数量”的分数，但是和小数建立联系时，又是利用面积模型，表达部分与整体关系的分数。学生在这个阶段，对于分数这两个功能，表达部分与整体关系的功能，和表达数量的功能，本身就处于混乱中，一方面，要借助一个学生处于混乱中的知识来认识新知识，会加大难度；另一方面，小数本身就处于十进制的系统中，从“1”反向延伸，10个10个来分，生成一个新数，对于小数计数单位的生成和理解，更具有连贯性和系统性。按照教材的编排，分数横插一杠，反而给学生认识小数增加了难度，也让知识的生成变得不再顺畅。
（二）学习起点分析
学生从一年级以内数的认识，到20以内数的认识，到100以内数的认识，万以内数的认识到认识更大的数，对十进制的10个10个组合起来形成新的单位，产生新的数位的认识层层递进逐步深刻，那么顺延到10个10个分，产生新的小单位和小数位，是可以达到知识的迁移的。
三、大概念统领，学习路径分析支撑的整合教学设计
基于以上的分析和思考，我对“小数意义”相关的这几个课时进行了整合。
内容 | 课时 | 具体目标 |
“1”的故事后续 | 1 |
|
生活中的小数 | 1 |
|
小数的大小比较 | 1 |
|
大概念统领有助于核心知识和核心素养的把握，学习路径的分析有助于知识的系统建构。帮助学生理清知识脉络，建构知识体系，有利于学生对知识的理解，有利于学生思维能力的培养，有利于学生数学素养和综合归纳能力的提升，有利于减轻学生学业负担，促进学生全面发展。
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