均值不等式的应用及其推广

均值不等式的应用及其推广

李涛

 杭州师范大学数学学院

摘要：对于中学的学生来说，对于解不等式及其应用是对学生的运算求解能力、推理论证能力以及抽象概括能力培养的重要组成部分和主要手段。用已知的不等式来证明不等式，往往可以收到事倍功半的效果。因此，熟悉一些重要不等式，是十分必要的。本文将围绕重要不等式中的均值不等式，谈谈均值不等式在中学的实际运用及其推广。

关键词：均值不等式；应用；推广

不等式内容是中学数学的一个重点内容，也是难点。在教学中我们要利用已知的成立的不等式来证明不等式，其中均值不等式是中学题目中经常会涵盖的知识点，下面将会从均值不等式的来源背景，定义形式，一般运用及其注意事项，推广运用来展开。

一、均值不等式的定义和形式

定理：若 0，则

，

其中，等号当且仅当 成立。

常用结论：

（1）如果 ，那么 ，当且仅当 时，不等式等号成立

（2）不等式变形： 对都成立。

（3）时，；时，。

（4）时，

（5）对两个正数，若他们的和是定值S ，当且仅当 时，积P = 有最大值 ;若它们的积P = 为定值，当且仅当 时，它们的和S取得最小值。

二、均值不等式的具体应用

3.1 求最值：

例1:求下列函数的值域：

（1）

（2）

解：（1）

值域为

( 2 ) 当时， ; 当时，-() = -2

值域为

解题技巧：

技巧一：凑项

例1: 已知 ，求函数 的最大值

解：因 ，所以首先要“调整”符号，又 不是常数所以对要进行拆、凑项，

，0 ,

=

当且仅当5= ,即x = 1时，上式等号成立，故当x = 1时，=1。

技巧二：凑系数

例1:当时，求 的最大值

解：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或者积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

= 。当2x=8-2x ，即x=2时，的最大值为8。

变式：设 ，求函数的最大值。

解：  ，0

= 2, 当且仅当 ，即 时等号成立

技巧三：分离

例1:求的值域

解一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。

= ，当−1 ，即时，（当且仅当x=1时取“=”号）。

技巧四：换元

解二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元。令t=x+1，化简原式再分离求最值。

=

当−1，即t=x+1>0时，（当t = 2即x = 1时取“=”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 , g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

3.2 利用均值不等式证明不等式

例：已知、b、c，且。求证：

解：、b、c，

    。同理 ,

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得：

=8 。当且仅当 时取等号。

三、均值不等式的推广

定理1:设 , , i=1,2,,n ,则

当且仅当时等号成立；

当且仅当时等号成立。

推论1:设 , , i=1,2,,n ,则

结语

均值不等式作为一个运用非常广泛的不等式，在各种题型中都起着至关重要的作用，而他最常见的运用就是求解最值问题，其中所蕴含的解题技巧也十分丰富，但在应用之前要注意前提条件，过程中要注意取等号的条件。通过对均值不等式的学习和推广，逐渐认识到均值不等式的重要性，并且利用均值不等式去解决相应的问题。

参考文献：

[1]王婉心. 浅谈均值不等式的应用[J]. 考试周刊,

[2]樊勇. 例谈均值不等式的运用[J]. 数学参谋