寻 求 路 径     捷 足 先 登

寻 求 路 径 捷 足 先 登

李克果

河南省方城县张骞学校 邮编：473200

“两点之间，线段最短”，这个公理是解决几何中一些寻求“捷径”的根据(有时也用“垂线段最短”),解题过程中常常直接用公理，或用平移、轴对称、展开图转化为两点间的距离之后,再将问题解决。

一、直接运用公理走“捷径”

例1、如图1，从学校A到家B共有四条道路可供选择，

走哪一条路会最近？为什么？

解：走线段AB最近；因为从学校A到家B的四

条道路中，有一条线段路，两条折线路，一条弧线

路。根据“两点之间，线段最短”，故选线段AB路

线最近。

例2、如图2，要把水渠中的水引到水池C，

在渠岸AB的什么地方开沟，才能使所开沟最短？

画出图来，并说明道理。

解：利用三角板画CD⊥AB，垂足为D（如

图2）；根据“垂线段最短”的性质，过点C画的

AB垂线，在垂足D处开沟，才能使所开沟CD最短。

练习1、（1）如图3，在△ABC

中，AC+BC＞AB，根据是什么？

（2）体育课上怎样测量同学们的跳远成绩？

（提示：（1）两点之间，线

段最短；（2）如图4，跳远成绩应是落在沙坑中的脚印上

点P到起跳线的距离，即垂线段PA的长。）

二、利用平移变换走“捷径”

例3、如图5（1），A、B

两个单位分别位于一条封闭

街道的两旁，现准备合作修一

条过街天桥，问桥建在何处才

能使A到B的路道最短。

分析：A、B两单位的路程共分三段，从A到桥，桥，从桥到B，

不管桥建在何处，桥的长度固定，因此，可从A走到D，使AD的长等于街道的宽度（即桥长）。这样就使问题转化为在街道的一侧求一点C，使DC+BC距离之和最小。

解：如图5（2），将点A沿向下的方向平移，平移距离等于桥宽，到达D点，连结DB，与街道

靠近的一侧交于C点，在C点处建桥就符合题目

的要求。

练习2、

如图6（1），M、N两村之间相隔两条河，河宽相同，为使这两村之间路程最短，应在两条河的什么位置各架一座桥合适？

（提示：如图6（1），从M村到N村的路

线共有五段，MA---AB---BC---CD---DN，其中

AB、CD是两座桥，因为河宽不变，所以无论

桥梁架在何处，桥长是不会改变的，要使路程

全长最短，如图6（2），只有调整桥的位置，

故从M村、N村朝着垂直河岸的走向分别走

各自邻近的河宽，到达E、F两点，连结EF

与两条河分别交于B、C两点，在B、C两处架桥则全

程最短。）

三、利用轴对称变换走“捷径”

例4、如图7（1），一条河流中有一岛屿P，岛屿P上的居民每

天用一条渡船到南岸、北岸上班，问怎样在河的两岸建设码头才

能使渡船行驶的水路最短。

分析：不管两码头设在

南北两岸的何处，行驶的路

线总是一个三角形的三条边，

我们怎样找出建码头的位置，

关键是让其一个三角形固定下来，

此时发现用轴对称方法即可达目的。

解：如图7（2），我们用对称的

办法找出岛屿P关于北岸的对称点M，关于南岸的对称点N，连结M、N交北岸、南岸于A、B，则A、B两点就是建立码头的位置。

练习3、

如图8（1）在

某交叉公路上要准备

修建一个加油站，

要求加油站与石料场M、红砖厂N的距离相等，并且与两条公路AB、AC的距离相等，请你试着确定加油站的位置。

（提示：如图8（2）作∠BAC的平分线，连结MN，再作MN的垂直平分线，两线的交点P既满足到∠BAC的两边AB、AC的距离相等，又满足到线段MN两端点M、N的距离相等。）

四、展开表面图变换走“捷径”

例5、如图9（1）是一边

长为的正方体盒子，在盒子底部A处有一只蜘蛛，而在对角G处一只苍蝇，蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的

时间内扑捉到苍蝇（假设苍蝇

在G处不动）？请你在图上画出这样的路径，并指出这样的路径共有几条。

分析：因为蜘蛛的爬行速度不变，要求蜘蛛在最短时间内扑捉到苍蝇，实际上是需要帮助蜘蛛找一条从A到G的最短路径，从正

方体的立体图上看，连结AG的线段（即正方体的对

角线）最短，客观现实是这条路线并不存在，我们可

以通过表面展开图得出正确结论,如图9(2)。

解：蜘蛛应沿着从A经过CD的中点到G，或从

A经过EF的中点K到G,如图9(3)，或从A经过BC的

中点到G的这三条路径爬行，才能在最短的时间内扑

捉到苍蝇。所画图形仅举从A经过EF的中点到G的一例。

例6、如图10（1）是一个圆柱体盒子，底面半径为,

高为在盒子底端最左边A处有一只蜘蛛，在盒子上端最

右边C处有一只苍蝇（假设苍蝇在C处不动），问蜘蛛应

沿什么路径爬行扑捉到苍蝇，才会爬行路程最短？

分析：在圆柱体上找捷径，仍需要将圆柱体沿边线

展开成平面图形来研究。

解：如图10（2），利用“两点之间，线段最短”，可知平面上AC连线是最短路径。这里AC的连线共有三条①、②、③，其中①、③长度一样，根据已知条件计算得①、③线段长为，线段②的长为，分类讨论计算：

（1）当=时，解之，得，

此时，①、③与②路径长一样；

（2）当＜时，解之，得，

此时，①、③小于②路径长；

（3）当

＞时，解之，得，

此时，①、③大于②路径长；

这道题中寻找最小路径，需通过分析进行分类讨论才可有结论，

并不是直接运用公理“两点之间，线段最短”就能解决问题的，注意灵活解题。

练习4

(1)如图11(1),一只蚂蚁从点

出发,沿着长方体盒子的表面经过前面、上面、后面、底面到达点。请你设计一条路线,使得经过这些面的路程最短。

(提示:将长方体盒子各面打开摊平如图11(1),

连AP即可。)

(2)如图12(1),一只小昆虫沿着

圆锥的表面从A点爬到P点,请你

为它寻找捷径。

(提示:如图12(2),把圆锥沿

母线展开成扇形,连AP即可。)

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