核心素养视域下高中数学概念课教学—— 以 “数系的扩充和复数的概念”一课为例

核心素养视域下高中数学概念课教学—— 以 “数系的扩充和复数的概念”一课为例

刘海双

新乡市第十一中学     453003

摘要:数学核心素养是数学课程目标的集中体现，对数学课堂教学具有指导和引领作用。数学是一门以思维为核心的学科，概念是思维的基础，概念教学的优劣直接影响着数学教学。在高中阶段，数学概念较多，概念教学尤为重要，概念教学设计不好，数学课程目标就难以实现，学生数学核心素养也就难以提高。结合“数系的扩充和复数的概念”一课，就核心素养下高中数学概念课教学作了一些尝试和思考。

关键词：核心素养概念教学

教师在理解教材的基础上，挖掘教材所蕴含的核心素养，基于问题情境，思考探究，抽象概括，应用升华四步进行合理的教学设计，在学生已有的认知基础上，启迪学生思维，引导知识生成。

1问题情境

剧本任务1：《分绳子》；角色介绍：你是一名成绩优异的小学三年级学生，且仅掌握自然数相关知识；你的任务：把2米长的绳子三等分?

剧本任务2：《不会服输》；角色介绍：你是一名成绩优异的小学六年级学生，且仅掌握自然数，分数相关知识；你的任务：计算3+2=？，3-2=？，2-3=？。

剧本任务3：《Q》；角色介绍：你是一名成绩优异的初中二年级学生，且仅掌握有理数相关知识a；你的任务：计算2-3=？，x2-2=0。

剧本任务4：《就会实数》；角色介绍：你是一名成绩优异的高中一年级学生，且掌握实数相关知识；你的任务：计算x2-2=0，x2+1=0。

设计意图：必修1第一章引言部分明确研究对象，确定研究范围是研究现代数学的基础，紧接着学习了集合语言严谨而简洁地刻画了研究范围，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，激发学生对数系扩充的兴趣。

2思考探究

远古时期的人类用划痕、石子、结绳计数，创造了自然数1,2,3,4,5……自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地。著名的中国古代数学著作《九章算术》的“方程“一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为”正负术“的算法。负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾，也引入了相反量的含义。在春秋战国时期，我国就有了分数的概念，《九章算术》的第一章也讲述了分数四则运算的方法。分数问题其实就是平均分配问题。约2500年前，古希腊的毕达哥拉斯学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数, 引起了数学史上的第一次危机。度量的需要又引入了无理数。引入无理数后，数系就扩充到了实数。

回顾从自然数系逐步扩充到实数系的过程,可以看到,数系的每一次扩充都与实际需求密切相关,并解决了原有数系中某种运算不能解决的问题。数系扩充后,在新数系中规定的加法运算、乘法运算,与原来数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致,并且加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律.这是数系扩充的基本思想。

1545年，意大利数学家卡尔达诺在《大术》中提出这样一个问题：“将10分成两部分，使得它们的乘积为40，这两部分分别是多少？”解析过程是这样的：设其中一个数是x，则另一个数为10-x. 则x(10-x)=40，但该方程无实数解,因为判别式Δ<0。

他想：负数为什么不能开方？那么他是怎么解决的呢？他是这样把10拆成如下两个数

1637年，笛卡儿在他的《几何学》一书中，给负数的平方根起了一个“虚数”的名。

1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”，引入新数i，使i为方程x2+1=0的解，则i2= -1。

把新引进的数添加到实数集中，我们希望和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律，那么，实数系经过扩充，得到的新数系由哪些数组成呢？

依照以上设想：

①把实数与相乘，结果记作

②把实数与相加，结果记作

注意：所有实数以及都可写成 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.

设计意图：让学生更好的理解数集扩充的历史，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，发展学生数学抽象核心素养，启发学生大胆创新。

3抽象概括

复数的概念：我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位. 全体复数所构成的集合叫做复数集.复数的代数形式：复数通常用字母表示，即，以后不作特殊说明时，复数中都，其中把实数叫做复数的实部，把实数叫做复数的虚部.

复数的分类：对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当时，它叫做虚数； 当且时，它叫做纯虚数.Venn图如下图所示。

复数相等的充要条件：在复数集中任取两个数，我们规定：

设计意图：理解复数的基本概念，复数的分类及复数相等的充要条件，发展学生逻辑推理数学核心素养。

4应用升华

1. 完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数）

2. 当实数m取什么值时，复数z=m+1+（m-1）i是下列数？

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数

3. 已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i，其中x,y∈R，求x，y.

设计意图：在理解了复数相关概念知识后学以致用，小步子，抓落实，发展学生数学运算核心素养。

本节课在现有数集的基础上对数系进行扩充，引出复数集，完成高中阶段最后一次数系的扩充；另外复数的概念又为后面学习复数的几何意义、复数代数形式的四则运算奠定基础。整节课基于问题情境，思考探究，抽象概括，应用升华四步在扩充过程中体会数学家严谨求实、开拓创新的科学精神，发展学生数学运算，数学抽象，逻辑推理等核心素养，对学生发出期许，期待学生也逐渐形成这样的必备品格和良好的逻辑思维能力。