新高考结构不良题的解题策略

 新高考结构不良题的解题策略

阮翠珊

潮州市潮安区凤塘中学  广东省潮州市  515646

【摘要】：新高考以来，高考试卷有了新的变化，结构不良题就是其中的重大变革，区别以往直接给定题意，学生由已知条件，逐步求出问题的答案的过程，而是在题意中，出现多个条件，由学生自个选择，然后再求解题中的问题，增强了试题的开放性。这样不仅能培养学生数学逻辑思维能力，数学问题意识，也对学生的数学探究能力起到积极的作用。

【关键词】：结构不良  解题策略  开放性

新高考以来，高考试卷有了新的变化，结构不良题就是其中的重大变革，区别以往直接给定题意，学生由已知条件，逐步求出问题的答案的过程，而是在题意中，出现多个条件，由学生自个选择，然后再求解题中的问题，增强了试题的开放性。这样不仅能培养学生数学逻辑思维能力，数学问题意识，也对学生的数学探究能力起到积极的作用。由于是新题型，学生在初中没接触过，高一高二训练也比较少，学生对这类题目缺少解题思路，所以，为了进一步适应新高考变化，在教学中应该重视结构不良题的训练，开拓学生的解题思路，引导学生注重思维的灵活性以及策略选择。

一.结构不良题的内容覆盖面广

就目前试卷出现结构不良题来看，考查知识点有三角函数与解三角形，数列，还有立体几何等，不排除还可以是其他知识点。所以，在平常的训练中，知识点应该多样化，全覆盖。

二.结构不良题的考查形式多样化

1.条件选择多样化。在考查过的结构不良题中，除了题意给出的一些条件，另外的条件题目中一般给出三个，学生可以从中选出，有些题目是由学生再选一个条件，也有些题目是由学生选择两个条件，还有些题目是从给出的三个条件，任意选两个作为条件，剩下的一个作为问题求解。当然，选择不一样，难度也就不一样。一般需要选择两个条件难度可能更大一些，开放性更强一些，需要学生知识基础扎实，同时要制定好的解题策略，看哪个条件学生更熟悉，更能与题中的问题产生联系。

例1.（2020新高考第17题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.

解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.

【详解】解法一：

由可得：，

不妨设，

则：，即.

选择条件①的解析：

据此可得：，，此时.

选择条件②的解析：

据此可得：，

则：，此时：，则：.

选择条件③的解析：

可得，，

与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.

解法二：∵,

∴，

∴,∴,∴,∴,

若选①，,∵,∴,∴c=1;

若选②，,则,;

若选③,与条件矛盾.

【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

例2．（2021全国第18题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；

选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；

选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列.

【详解】

选①②作条件证明③：

设，则，

当时，；

当时，；

因为也是等差数列，所以，解得；

所以，所以.

选①③作条件证明②：

因为，是等差数列，

所以公差，

所以，即，

因为，

所以是等差数列.

选②③作条件证明①：

设，则，

当时，；

当时，；

因为，所以，解得或；

当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；

当时，，不合题意，舍去.

综上可知为等差数列.

【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法。

2.条件选择不一样，所得分数也多样化。有些题目选择条件方案不一样，会导致其中一个问题无解，所以只能得解决一个问题的分数；若是，选择的条件刚好两个问题都有解，并且解对了，那就可以得满分。这类题目，学生在解题过程中，会花更多的时间，也容易误入歧途。所以学生选择合理的方案，会起到事半功倍的作用。

例3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．

（Ⅰ）求证：AB

⊥平面AA1C1C；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

条件①：；

条件②：；

条件③：平面ABC⊥平面AA1C1C．

【分析】若选择条件①②：则不能解决两个问题，本题得分为0分；若选择条件②③：则可以解决（Ⅰ）问，不能解决（Ⅱ）问，（Ⅱ）问得分0分，本题满分得6分；若选择条件①③：则可以解决两个问题，本题满分得12分。

【详解】（Ⅰ）因为平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC

AA1⊥AC,所以AA1⊥平面ABC，又AB平面ABC,

则AA1⊥AB

连接AC1,则A1C⊥AC1，又BC1⊥A1C,AC1∩BC1=C1,

所以A1C⊥平面ABC1，AB平面ABC1，

则A1C⊥AB，又A1C∩AA1=A1

所以AB⊥平面AA1C1C.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以A为原点，建立如图直角坐标系A-，且AB=2，则B(2,0,0),C(0,0,4),A1(0,4,0),C1(0,4,4),则   

设平面A1BC的一个法向量为

则，，

所以平面A1BC的一个法向量为，

设直线BC1与平面A1BC所成角为θ，则

,

故直线BC1与平面A1BC所成角的正弦值为.

【点睛】这类题考查线面垂直的判定定理，利用空间向量求解线面角，考查空间想象力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和运算等核心素养，属于中档题.

三.针对结构不良题的特点，注意解题策略。

首先，学生要有良好的心态。面对结构不良题要沉着冷静，镇定，战略上藐视问题，战术上重视问题，胆大心细。心理上不惧怕，才有解决问题的方法。

其次，学生要仔细审题，切忌看不清题意，就按照印象解题。审清条件对解决问题的作用，是否含有隐藏条件，审清命题的意图，然后再进行条件选择，还得注意选择平常自己比较熟悉的，进而寻求合理的解题思路和方法。审题要慢，解题要快。

第三，学生平时要重视务实基础，掌握好各个知识点。由于结构不良题增加了题目的开放性，那选择条件不一样，解题方法可能就不一样，运用到的知识点可能也就不一样，所以公式定理一定要记牢。同时，设计适当的练习题，让学生应在平常训练中提高自己计算能力，提高解题效率。对这类题目，会做，务必拿满分。

最后，阶梯式适当增加题目的难度，培养学生改错能力和解题能力。

总之，教师应引导学生学会总结解题策略，不断进行自我分析和思考，从而深化对结构不良题的理解，探索解题的思维和规律，真正掌握解题的方法与技巧。

参考文献：[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京.人民教育出版社.2020.5

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