刘海双
新乡市第十一中学453003
摘要:数学核心素养是数学课程目标的集中体现,对数学课堂教学具有指导和引领作用。数学是一门以思维为核心的学科,概念是思维的基础,概念教学的优劣直接影响着数学教学。在高中阶段,数学概念较多,概念教学尤为重要,概念教学设计不好,数学课程目标就难以实现,学生数学核心素养也就难以提高。结合“数系的扩充和复数的概念”一课,就核心素养下高中数学概念课教学作了一些尝试和思考。
关键词:核心素养概念教学
教师在理解教材的基础上,挖掘教材所蕴含的核心素养,基于问题情境,思考探究,抽象概括,应用升华四步进行合理的教学设计,在学生已有的认知基础上,启迪学生思维,引导知识生成。
1问题情境
剧本任务1:《分绳子》;角色介绍:你是一名成绩优异的小学三年级学生,且仅掌握自然数相关知识;你的任务:把2米长的绳子三等分?
剧本任务2:《不会服输》;角色介绍:你是一名成绩优异的小学六年级学生,且仅掌握自然数,分数相关知识;你的任务:计算3+2=?,3-2=?,2-3=?。
剧本任务3:《Q》;角色介绍:你是一名成绩优异的初中二年级学生,且仅掌握有理数相关知识a;你的任务:计算2-3=?,x2-2=0。
剧本任务4:《就会实数》;角色介绍:你是一名成绩优异的高中一年级学生,且掌握实数相关知识;你的任务:计算x2-2=0,x2+1=0。
设计意图:必修1第一章引言部分明确研究对象,确定研究范围是研究现代数学的基础,紧接着学习了集合语言严谨而简洁地刻画了研究范围,体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用,激发学生对数系扩充的兴趣。
2思考探究
远古时期的人类用划痕、石子、结绳计数,创造了自然数1,2,3,4,5……自然数是现实世界最基本的数量,是全部数学的发源地。著名的中国古代数学著作《九章算术》的“方程“一章,在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则,并给出名为”正负术“的算法。负数的引入,解决了在数集中不够减的矛盾,也引入了相反量的含义。在春秋战国时期,我国就有了分数的概念,《九章算术》的第一章也讲述了分数四则运算的方法。分数问题其实就是平均分配问题。约2500年前,古希腊的毕达哥拉斯学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数, 引起了数学史上的第一次危机。度量的需要又引入了无理数。引入无理数后,数系就扩充到了实数。
回顾从自然数系逐步扩充到实数系的过程,可以看到,数系的每一次扩充都与实际需求密切相关,并解决了原有数系中某种运算不能解决的问题。数系扩充后,在新数系中规定的加法运算、乘法运算,与原来数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致,并且加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律.这是数系扩充的基本思想。
1545年,意大利数学家卡尔达诺在《大术》中提出这样一个问题:“将10分成两部分,使得它们的乘积为40,这两部分分别是多少?”解析过程是这样的:设其中一个数是x,则另一个数为10-x. 则x(10-x)=40,但该方程无实数解,因为判别式Δ<0。
他想:负数为什么不能开方?那么他是怎么解决的呢?他是这样把10拆成如下两个数
1637年,笛卡儿在他的《几何学》一书中,给负数的平方根起了一个“虚数”的名。
1777年,瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”,引入新数i,使i为方程x2+1=0的解,则i2= -1。
把新引进的数添加到实数集中,我们希望
和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算,并希望加法和乘法都满足交换律、结合律,以及乘法对加法满足分配律,那么,实数系经过扩充,得到的新数系由哪些数组成呢?
依照以上设想:
①把实数与
相乘,结果记作
②把实数与
相加,结果记作
注意:所有实数以及都可写成
的形式,从而这些数都在扩充后的新数集中.
设计意图:让学生更好的理解数集扩充的历史,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系,发展学生数学抽象核心素养,启发学生大胆创新。
3抽象概括
复数的概念:我们把形如的数叫做复数,其中
叫做虚数单位. 全体复数所构成的集合
叫做复数集.复数的代数形式:复数通常用字母
表示,即
,以后不作特殊说明时,复数
中都
,其中把实数
叫做复数
的实部,把实数
叫做复数
的虚部.
复数的分类:对于复数,当且仅当
时,它是实数;当且仅当
时,它是实数
;当
时,它叫做虚数; 当
且
时,它叫做纯虚数.Venn图如下图所示。
复数相等的充要条件:在复数集
中任取两个数
,我们规定:
设计意图:理解复数的基本概念,复数的分类及复数相等的充要条件,发展学生逻辑推理数学核心素养。
4应用升华
完成下列表格(分类一栏填实数、虚数或纯虚数)
2-3i | 0 | -2+5i | 7i | i2 | |
实部 | |||||
虚部 | |||||
分类 |
当实数m取什么值时,复数z=m+1+(m-1)i是下列数?
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数
已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,其中x,y∈R,求x,y.
设计意图:在理解了复数相关概念知识后学以致用,小步子,抓落实,发展学生数学运算核心素养。
本节课在现有数集的基础上对数系进行扩充,引出复数集,完成高中阶段最后一次数系的扩充;另外复数的概念又为后面学习复数的几何意义、复数代数形式的四则运算奠定基础。整节课基于问题情境,思考探究,抽象概括,应用升华四步在扩充过程中体会数学家严谨求实、开拓创新的科学精神,发展学生数学运算,数学抽象,逻辑推理等核心素养,对学生发出期许,期待学生也逐渐形成这样的必备品格和良好的逻辑思维能力。