浅谈中学数学中的复合函数

复合函数作为高中数学和高等数学的结合部内容，备受很多资料及高考命题的青睐，特别是在函数的导数中，经常会出现复合函数问题。中学数学教材对复合函数知识未作详细介绍，学生对复合函数概念模糊，遇到复合函数问题
感到费力，下面就中学数学中的复合函数问题，浅谈自己的认识。
一、复合函数的定义
设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域A中变化，u=g(x）的值在y=f(u)的定义域B内变化时，变量x与y之间通过中间变量u形成了一种函数，记为y=f[g(x)]，称为复合函数。其中x称为自变量，u称为中间变量，y称为因变量（即函数）。如函数 是由 ,u=1－v, ,t=x2＋2x等基本初等函数复合而成的.
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当u=g(x)的值域存在非空子集C，且C是函数y=f(u)的定义域B的子集时，二者才可以复合成一个复合函数y=f[g(x)].如y=lnu,u＝－x2就不能复合成一个函数.
二、复合函数的定义域
设y=f(u)的定义域为B，u=g(x)的定义域为A,则y=f[g(x)]的定义域为{x｜x∈A,且u=g(x)∈B}.
1.若已知y=f［g(x)］的定义域(a,b),求y=f(x)的定义域. 　　其方法是：利用x∈(a,b)，求u=g(x)的取值范围(即函数u=g(x)的值域)，即为所求函数y=f(x)的定义域.
例1.已知函数y=f(2x+1)的定义域为［－1,3］，求y=f(x)的定义域.
解：令t=2x+1,由x∈[－1,3]得2x+1∈[－1,7],即t∈[－1,7],所以y=f(x)的定义域为［－1,7］.
例2 已知y=f(x2－2x－1)的定义域为(0,3],求函数y=f(x)的定义域.
解：令u=x2－2x－1,则u=(x－1)2－2.当0<x≤3时，－2≤u≤2,所以，函数y=f(x)的定义域是[-2,2].
解评:由复合函数的定义域，求原来函数的定义域，只要根据x的范围确定复合函数中间变量的范围即可.
2.若已知y=f(x)的定义域(a,b),求函数y=f[g(x)]的定义域, 　　其方法是：利用a<g(x)<b,求得x的取值范围，即为所求函数y=[g(x)]的定义域.
例3.已知y=f(x)的定义域为［－1,3］，求y=f(2x+1)的定义域.
解：令t=2x+1,由y=f(x)的定义域为［－1,3］，知t∈[－1,3] ∴－1≤2x+1≤3,故－1≤x≤1,所以y=f(x)的定义域为［－1,1］.
解评:由已知函数的定义域，求复合函数的定义域，只须将所求式中括号内的式子看成已知式中的x，再解不等式，求出其定义域.
三、复合函数的值域
求复合函数y=f[g(x)]的值域，实际上是在复合函数的定义域上先求出u=g(x)的值域D，即确定了y=f(x)的定义域D，再求出函数y=f(x)在x∈D的值域（对于两重以上的复合函数仍按此法依次进行）。
例4.求函数 的值域.
解：令 ，则 .
由t=x2-4x+13=(x-2)2+9≥9,得v≥3,∴－v≤－3,∴u≤－2,于是－ ≤y<0, 即函数 的值域是 .
例5.已知函数y=f(x)=ln(ax2+ax+1).
(1)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求a的取值范围.
解：(1)f(x)的定义域为R，则ax2+ax+1>0对x∈R恒成立， 当a=0时，ax2+ax+1>0对x∈R恒成立；
当a≠0时，要使ax2+ax+1>0对x∈R恒成立，则

∴0<a<4,
综上，f(x)的定义域为R时，a的取值范围是[0,4).
(2)f(x)的值域为R,则u=ax2+ax+1要取遍(0，+∞)内的所有值，则

∴a≥4, 　　
故f(x)的值域为R时，a的取值范围是[4,+∞).
四、复合函数的单调性
设y=f(u)在u∈[a,b]上单调递增，在u∈[c,d]上单调递减；u=g(x)在x∈[m,n]上单调递增，在x∈[p,q]上单调递减，则
1.当x∈[m,n]且u=g(x)∈[a,b]时，y=f[g(x)]在[m,n]上是单调递增函数；
2.当x∈[m,n]且u=g(x)∈[c,d]时，y=f[g(x)]在[m,n]上是单调递减函数；
3.当x∈[p,q]且u=g(x)∈[a,b]时，y=f[g(x)]在[p,q]上是单调递减函数；
4.当x∈[p,q]且u=g(x)∈[c,d]时，y=f[g(x)]在[p,q]上是单调递增函数；
(简记为：“同增异减”)
证明1.任取x1,x2 ∈[m,n]且x1<x2,因u=g(x)在[m,n]上是单调递增函数，故
u1=g(x1)<u2=g(x2)且u1、u2∈[a,b].又y=f(u)在[a,b]上是单调递增函数，所以y1=f(u1)<y2=f(u2),即当x1,x2∈[m,n]且x1 <x2时，有y1=f[g(x1)]<y2=f[g(x2)]，所以函数y=f[g(x)]在[m,n]上是单调递增函数。

2.设x1,x2∈[m,n]且x1<x2，因u=g(x)在[m,n]上是单调递增函数，故u1=g(x1)<u2=g(x2)且u1、u2∈[c,d].又y=f(u)在[c,d]上是单调递减函数，所以y1=f(u1)＞y2=f(u2),即当x1,x2∈[m,n]且x1<x2时，有y1=f[g(x1)]＞y2=f[g(x2)]，所以函数y=f[g(x)]在[m,n]上是单调递减函数。
类似地，可证明3，4（略）.
例6.求函数y=f(x)=x4-6x2+3的单调区间.
解：y=x4-6x2+3=(x-3)2-6.令u=x2-3,则y=f(x)由y=f(u)=u2-6,u=x2-3复合而成.
∵y=f(u)=u2－6在(-∞,0]上单调递减，在(0,+∞]上单调增，u=x2－3在(-∞,0]上单调递减，在(0,+∞]上单调增，
由 得－ ≤x≤0,
∴y=f(x)=x4-6x2+3在 上是增函数.
由 得x≤－ .
∴y=f(x)=x4-6x2+3在(-∞,- ]上是减函数.
由 得0≤x≤ .
∴y=f(x)=x4-6x2+3在[0, ]上是减函数.
由 得x≥ .
∴y=f(x)=x4-6x2+3在[ ,+∞]上是增函数.
综上，函数y=f(x)=x4-6x2+3的单调递增区间是[- ,0]和 [ ,+∞]；单调递减区间是(-∞,- ]和[0, ].
(注：本例可利用导数处理）
例7.求函数 的单调区间
解：此函数由 u及u=x2+2x-3复合而成， (x2+2x-3)的定义域是(-∞，-3)∪(1，+∞). u在u∈(0，+∞)上是减函数.
由复合函数的单调性可知，函数u=x2+2x-3(x<-3或x>1)且u>0的递增区间就是函数 (x2+2x-3)的递减区间，函数u=x2+2x-3(x<-3或x>1)且u>0的递减区间就是函数
(x2+2x-3)的递增区间.
易知，u=x2+2x-3是x∈(-∞,-3)上的减函数，是x∈(1,+∞)上的增函数，且u>0.
所以，函数 (x2+2x-3)的单调递增区间是(-∞，-3)，单调递减区间是(1，+∞).
五、复合函数的奇偶性
1.设y=f(u)是奇函数，u=g(x)是奇函数，则函数y=F(x)=f[g(x)]是奇函数;
2.设y=f(u)是奇函数，u=g(x)是偶函数，则函数y=F(x)=f[g(x)]是偶函数;
3.设y=f(u)是偶函数，u=g(x)是奇函数，则函数y=F(x)=f[g(x)]是偶函数;
4.设y=f(u)是偶函数，u=g(x)是偶函数，则函数y=F(x)=f[g(x)]是偶函数;
由两个函数复合而成的复合函数，当里层函数是偶函数时，不论外层函数的奇偶性如何，复合函数都是偶函数；当里层函数是奇函数，外层函数是偶函数时，复合函数是偶函数；当里层函数是奇函数,外层函数是奇函数时，复合函数是奇函数.
证明：1.因u=g(x)是奇函数，故g(-x)=-g(x),又y=f(u)是奇函数，故F(-x)=f[g(－x)]=f[－g(x)]=－f[g(x)]=-F(x),所以函数y=F(x)=f[g(x)]是奇函数;
类似可证，2、3、4(略).
六、复合函数的导数

证明：设x取增量△x,则u取得相应的增量△u,从而y取得相应的增量△y,△u=g(x+△x)-g(x),△y=f(u+△u)-f(u) 当△u≠0时，有 .
因u=g(x)则必连续，所以当△x→0时,△u→0.

于是

即 　　
可以证明，当△u=0时，仍然成立，
综上，
于是，复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.
(对于两重以上的复合函数仍按此法依次进行).
例8，求函数 的导数

解：因函数 是由 等基本初等函数复合而成的.

所以

例9.（2011年高考北京理18）已知函数 ,求f(x),求f(x)的单调区间.
解： (注：在对 求导时，容易忘记函数 是由 复合而成的复合函数)
令 ，得x=±k.
当k>0时, 的情况如下:

当k＜0时, 的情况如下:

综上，当k>0时，f(x)的单调递增区间是（-∞－k],和[k,+∞),单调递减区间是
[－k,k];
当k<0时，f(x)的单调递减区间是（-∞,k]和[－k,+∞)，单调递增区间是[k,－k].
对于复合函数，一定要重视中间变量的“桥梁”作用，特别是中间的值域(非空)应是函数定义域的子集及求导过程中中间变量还要关于主变元进一步求导等.
（作者单位：云南省永善县第一中学）