数学教学中的新定义问题

数学教学中的新定义问题

孟占彪

关键词：数学；新定义；新概念

作者简介：孟占彪，任教于河南省郑州外国语中学。

新定义问题成为近年来中考题中的新亮点，试举例共赏析。

一、与概率有关的新概念

例1：“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等），任取一个两位数，是“上升数”的概率是。（2008年山东省）

分析：试题可用列举法，对照“上升数”的定义统计两位数中“上升数”的个数。

解：两位数共有90个，其中12~19，23~29，34~39，45~49，56~59，67~69，78~79，89共36个是“上升数”。所以“上升数”的概率是。

二、与一次函数有关的新概念

例2：定义[p，q]是一次函数的特征数。

(1)若特征数是[]的一次函数为正比例函数，求的值；

(2)设点A，B是抛物线轴的交点，其中m＞0，且△OAB的面积为4，O为原点，求图象过A，B两点的一次函数的特征数。

分析：求一次函数的特征数其实就是求出解析式。

解：(1)因为特征数为[]的一次函数为，因为它是正比例函数，所以=0，得=2。

(2)因为抛物线与轴的交点为A1（-m，0），A2（2，0），与轴的交点为B（0，-2m）。

若S△OBA1=4，则；

若S△OBA2=4，则；

所以当时，满足题设条件，抛物线的解析式为与轴的交点为（-2，0）（2，0），与轴的交点为（0，4），一次函数式为。

故特征数为[-2，-4]或[2，-4]

三、与方程有关的新概念

例3：在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：☆，则方程（4☆3）☆的解为=。（2008年湖北省孝感市）

分析：根据运算规则，将（4☆3）☆转化为一元二次方程，求出方程的解即可。

解：原方程可化为：

7☆=13

即49-2=13

所以1=6，2=-6

四、与探索规律有关的新概念

例4：有一个运算程序，可以使：

现在，已知11=2，那么20072007=。（第19届（08年）“希望杯”初二第1试）

分析：由新定义的运算程序：，，则有于是有=-1=

故

五、与四边形有关的新概念

例5：我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。

(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，；

(2)如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0）、A（3，0）、B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；

(3)如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转600，得到△DBF，连结AD、DC、∠DCB=300。求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形。

解：（1）正方形、长方形、直角梯形。（任选两个均可）

(2)答案如图3所示，M（3，4）或M（4，3）。

（3）证明：连结EC，因为△ABC≌△DBF，所以AC=DE，BC=BE，又因为∠CBE=600，所以△BCE是等边三角形，所以EC=BC，∠BCE=600，因为∠DCB=300，所以∠DCE=900所以DC2+EC2=DE2，所以DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形。

六、与点有关的新概念

例6：四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点。如图4，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点。

（1）如图5，画出菱形ABCD的一个准等距点。

（2）如图6，做出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）。

（3）如图7，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF。求证：点P是四边形ABCD的准等距点。

分析：解决此题的关键是正确理解“四边形的准等距点”这个新概念，实质上这个“准等距点”必须满足两个条件：一是它必须在这种个四边形的对角线上；二是它必须到所在对角线的两端点的距离不相等，且到另一对角线的两个端点的距离相等。这两个条件缺一不可，只要抓住这两条，问题就容易解决了。

七、与三角形有关的新概念

例7（2005年四川）：在如图8所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形，解决下面的问题：

(1)图中的格点△A1B1C1是由格点△ABC通过哪些变换方法得到的？

(2)如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（-3，

4），请写出格点△DEF各个顶点的坐标，并求出其面积。

解析：（1）方法较多，如：先向右平移5小格，使点C移到点C1，再以C1为中心，顺时针方向旋转900得到△A1B1C1；

(2)D（0，-2），E（-4，-4），F（2，-3），S△DEF的面积等于一个距形面积减去三个小直角三角形的面积得4。

例8(2004济南)：在一个单位为1cm的方格纸上，依图9所示的规律，设定点A1、A2、A3、A4……An，连结点A1、A2、A3组成三角形，记为△1连结A2、A3、A4组成三角形，记为△2，连结点An、An+1、An+2组成三角形，记为△n，（n为正整数），请你推断，当△n的面积为100cm2时，n=。

解析：解决这一类问题的关键在于识图，全面捕捉相关图形信息，寻找普遍性规律。

△1的面积为

△2的面积为

△3的面积为

△n的面积为

作者单位：河南省郑州外国语中学

邮政编码：450000

OnNewDefinitionsinMathematicsTeaching

MengZhanbiao

Abstract:Thispaperanalyzessomenewdefinitionsinnmathematicsteachingbasedonspecificexamples,hopingitwillhelpstudentsperformwellinentranceexaminationforseniorhighschool.

Keywords:mathematics;newdefinitions;newconcepts