高考解答题中的导数应用问题

高考解答题中的导数应用问题

焦成刚

山东省滨州市滨城区第二中学256600

考点一：利用导数研究函数性质

例1：已知函数f（x）=（4x2+4ax+a2）x，其中a<0。

（1）当a=-4时，求f（x）的单调递增区间。

（2）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值。

解：（1）由题意可知，f`（x）=，

当a=-4时，由f`（x）=＝0，解得x=或2，

由f`（x）＞0，得x∈（0,）或x∈（2,＋∞），

故f（x）的单调递增区间为（0,）和x∈（2,+∞）。

（2）f`（x）=，a<0，

由f`（x）=0，解得x=-或-，

令f`（x）＞0，得0<x<-或x>-；

令f`（x）<0，得-<x<-，

由题可知f（x）=（2x+a）2x≥0，且f（-）=0。

①当-≤1，即-2≤a<0时，f（x）在[1，4]上的最小值为f（1），由f（1）=4+4a+a2=8，得a=±22-2，均不符合题意。

②当1<-≤4，即-8≤a<-2时，f（x）在[1，4]上的最小值为f（-）=0，不合题意。

③当-＞4，即a<-8时，f（x）在[1，4]上的最小值为f（1）或f（4），而f（1）≠8，由f（4）=2（64+16a+a2）=8，得a=-10或a=-6（舍去），当a=-10时，f（x）在[1，4]上单调递减，其最小值为f（4）=8，符合题意。

综上所述，a=-10。

【规律总结】利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值。

含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合函数图像的性质进行分析。

考点二：利用导数研究函数零点问题

例2：已知函数f（x）=-alnx（a∈R）。

（1）若h（x）=f（x）-2x，当a=-3时，求h（x）的单调递减区间。

（2）若函数f（x）有唯一零点，求实数a的取值范围。

解：（1）h（x）的定义域为（0,+∞），

当a=-3时，h（x）=+3lnx-2x，h`（x）=-+-2=-，

令h`（x）<0，得0<x<或x＞1，

所以h（x）的单调递减区间为（0,）和（1,+∞）。

（2）问题等价于方程alnx=有唯一的实根，

显然a≠0，则关于x的方程xlnx=有唯一的实根，

构造函数ψ（x）=xlnx，则ψ`（x）=1+lnx，

令ψ`（x）=0，得x=，

当0<x<时，ψ`（x）<0，

当x＞时，ψ`（x）＞0，

所以ψ（x）的极小值为ψ（）=-，

则要使方程xlnx=有唯一的实根，只需直线y=与曲线y=ψ（x）有唯一的交点，则=-或＞0，解得a=-e或a＞0。

故实数a的取值范围是{-e}∪（0,+∞）。

【规律总结】函数零点问题一般利用函数的单调性、极值等性质，并借助函数图像，根据零点或图像的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一。

考点三：利用导数研究不等式问题

例3：已知函数f（x）=-ax（a＞0）。

（1）若函数f（x）在（1,+∞）上是减函数，求实数a的最小值。

（2）若x1,x2∈[e,e2]，使f（x1）≤f`（x2）+a成立，求当a≥时，实数a的取值范围。

解：（1）因为f（x）在（1,+∞）上为减函数，所以f`（x2）=-a≤0在（1,+∞）上恒成立。

所以当x∈（1,+∞）时，f`（x）max≤0，

又f`（x）=-a=-（-）2+-a，

故当=，即x=e2时，f`（x）max=-a，

所以-a≤0，故a≥，所以实数a的最小值是。

（2）“若x1,x2∈[e,e2]，使f（x1）≤f`（x2）+a成立”等价于“当x∈[e,e2]时，使f（x）min≤f`（x）max+a”，

由（1）知，当x∈[e,e2]时，f`（x）min=-a，

故问题转化为“当x∈[e,e2]时，使f（x）min≤”，

当a≥时，f`（x）max≤0，

所以f（x）在[e,e2]上为减函数，

则f（x）min=f（e2）=-ae2≤，解得a≥-，

又因为-＞，

故实数a的取值范围是a≥-。

【规律总结】求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值较繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解。