浅谈数感及其研究综述

浅谈数感及其研究综述

马翔宇

（内蒙古师范大学，内蒙古呼和浩特011500）

数感由Dantzig于1954年首次提出并认为数感是对微小数量变化的直观感受，而在我国的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》），将数感作为课程中学生所要十种需要中的首位，并指出数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。小学生在刚开始学习数学时首先学习的就是数以及数量关系等，同时我们知道数学是研究数量关系和空间形式的科学，要学好数学就要具备良好的数感。从小学各学段的目标来看，其数学内容的设置也是以培养学生的数感为目标。因此，小学生数感的培养很重要。

我们生活在一个与数息息相关的世界，一个人，两个苹果，三个鸡蛋……特别是在如今的信息化大数据时代，数学化的倾向越来越明显，我们能从数据中得到很多信息，也能用数来解决很多问题，这不仅要求我们要培养自己的数学思维数学意识，也对现在的学生提出了数学要求。而数感的培养有利于学生数学思维和数学意识的培养。数学的学习是一个长期的持久的过程，要更好的学习数学，需要于刚开始学习数学的关键时期打好基础。而对于数感的培养也是如此，有学者指出数感的培养的关键期是低年级，因此数感的培养的教学应重点放在第一学段。而良好数感的培养也有利于数学的学习。因此，要加大对小学第一学段学生的数感的培养。通过对小学第一学段学生数感的培养，可以帮助学生及早的为以后更深入数学学习打好基础。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出，数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。作为我国义务教育数学教学的指导性文件，课标的重要性不言而喻。所以尽管很多学者对于数感的理解有不同的意见，但是作为我国教学中的数感，应该紧紧跟随课标的要求。对于在教学中培养学生的数感，虽然有的教师已经有了这个意识，但是更多的老师对此仍无所觉，特别是农村数学教师。老师们普遍缺乏对数感的认识，不能在教学中更好的培养学生的数感。因此，通过对此的研究，可以发现农村小学数学数感教学中的问题，提出相应的对策建议，帮助更好解决农村数感教学问题。同时，也希望能引起更多人的关注与深入研究。

通过对国内外数感研究进行综述，能够让广大教育工作者更加深入的了解数感，这对于数感的研究和数感的实际教学有着重要的作用。

一、数感的研究

在综合国内外学者对数感的研究后，对于此的综述主要涉及以下几个方面：数感的涵义、数感的内容、数感的重要性与价值和数感的培养三个方面。

（一）数感的涵义

从数感被提出以来，国内外的专家都纷纷对其内涵进行界定，但至今未有确切统一的定义。结合已有的文献，现今对数感涵义主要有以下几种定义。

1.数感是对数的一种直觉

1989年美国NCTM中，对数感的阐述为：“数感是一种关于数字的直觉，它从数字的所有不同的意义的表述得以表现。”

学者叶蓓蓓认为：“数感的形成从某种程度上讲是一种关于数的全方位、立体感，它的形成需要视觉、听觉等各种感官的刺激。”也就是说“数感是一种对数字的直觉”，同时也认为“数感的培养可以从某一程度上认为是直觉思维的培养。”

詹国樑在其《数感的内涵》一文中分析了当前国内学者对数感涵义的理解，分析总结下可分为几种学说，但其认为最恰当的还是直觉说。他认为无论是感觉还是感受，都不能同观念意识混为一谈，并将数感分为狭义和广义，狭义的数感指“数字感(NumberSense)，它的涵义是:人脑对于数字或数字运算的直觉，即对于数字或数字运算的洞察与领悟”，而广义的数感指“数学感(MathematicsSense)，它的涵义是:人脑对数学对象的直觉，即对于数学对象的洞察与领悟。”

2.数感是对数和运算的一般理解

我国学者马云鹏、史炳星认为“数感是人对数与运算的一般理解，这种理解可以帮助人们用灵活的方法作出数学判断和为解决复杂的问题作出有用的策略。数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识。数感是人的一种基本的数学素养。它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实问题建立联系的桥梁”。相较于直觉说，这种理解下的数感是在经过思考并掌握了相关的概念算法等以后而形成的，它上升到了运算的层面。

3.数感是对数的一种感受、感知

Dantzig首次在其《数：科学的语言》中首次提出，认为数感是对微小数量变化的直观感受。Ｍcintosh，他提出数感可以将数学与感官经验联结起来，使个体有能力和信心判断数学答案的合理性。

2002年,南京大学哲学系郑毓信教授在《数学教育学报》中撰文指出:“数感含有一种‘直感’的涵义,特别是指对于某种特定的事物或现象或属性方面的敏感性.它是一种直接的‘感知’，从而在很多情况下甚至是说不清、道不明的。”

4.数感是一种概念网络结构

JudithSowder（1988）这样定义数感：“一个具有良好组织的概念网络结构，它能够使一个数字和它相关的操作特性相关联，并且以灵活而有创造性的方式解决数字问题。”对于数的概念网络结构，它是数概念的不断扩大，在大脑中逐步形成，它可以帮助人的思维去接受其他数学知识，渐渐地也开始建立一些数学信息系统，并有能力有意识地选择方法灵活地，创造性地解决问题。

5.数感应是一种程序性知识

汤服成,郭海燕从认为从知识的角度来看，数感是一种内隐性、非结构性的程序性知识。他们认为数感主要是后天形成的，经过学习和实践积累的。他认为数感在人脑中是以“如果—那么”的形式储存的，当遇到具体的情境时，能将之于数联系起来以数学的方式解决问题。

6.数感是对于数的一种感悟

史宁中和吕世虎认为数感不只是一种感觉，而应该是具有思维的成分在里面的，“感”是对外界刺激的反应，而“悟”是主体自身的通过思维产生的，因此数感应该是一种对数的“感悟”。

2011版数学课程标准中指出：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。

综合国内外学者对于数感内涵的见解，我们可以看到从不同的角度来看数感，每个人的理解都是不同的，因此我们也不能用一样的标准来评判哪一个好哪一个不好，只能就本人所站的角度来其进行理解与描述。而就本论文而言，更为认同的是课标中对于数感的认识。

（二）数感的内容

1.2011版数学课程标准提出数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。而对与小学第一学段学生数感培养，课标也有具体的要求。

2.史炳星教授和马云鹏教授则具体指出在中小学数学教学中，数感主要是要使学生具有能力去应用数字表示具体的数据和数量关系；与此同时，能够判定不同的算术运算，有能力进行计算，并具有选择适当的方法（如心算、笔算、使用计算器）实施计算的经验；能依据数据进行推论，并对数据和推论的精确性和可靠性进行检验。

3.罗玉华根据国内外数学课程标准中对数感的描述以及国内外学者们的研究,认为数感由以下6个方面构成：①理解数字的意义和相对大小；②理解和使用数字的等量表征方式；③理解运算的意义和作用；④理解和使用等量表征；④理解和使用等量；⑥选择和运用度量的基准。

4.Mcintosh等提出了三成分结构模型，认为数感是由数、运算、情境三种基本的成分构成的，其中数包括数的顺序、数的表征和数的大小三个方面的内容。数的表征指能对数用多种方式的表征并能灵活转换。运算不仅指对数的运算等意义的理解，更是对运算结果的一种判断。情境指在具体情境中对数的理解，选择合适的方式解决，判断结果的合理与精确性。

5.在2000年出版的“美国数学课程标准”中，“NumberSense”一词主要用于学前至二年级阶段数与运算的标准中（NumberandOperationsStandardforGradesPre-K–2）。它指出，数感是逐级发展的，同时还把它分为四层。第一层是能够在不见实物情况下用数进行思考。第二层是能把实物与具体的数联系起来。第三层是能够用数感进行较为复杂的关于数的推理。第四个层次，学生能够自然地发现和使用运算性质，认识到等量代换等性质。

综合国内外研究者的研究，从不同的理解上出发，学者对于数感的内容层次上的理解具有各自的特点。而针对于教学来说，要实现数感的内容，更要与学习内容紧密结合，与国家的要求密切联系，因此，更好的落实《课标》对于数感内容的要求对于学生树干的培养更为有利，本研究致力于对课标中内容的落实情况。

（三）数感的重要性与价值

《标准》将数感列为数学所要培养的十大目标中的第一位，在不同的学段也有不同的要求。可见，数感在我国的数学教学中的重要性。

马云鹏、史炳星认为数感在数学教育中起着重要作用。数感的建立是提高学生数学素养的重要标志；数感的培养有助于学生数学地理解和解释现实问题；数感的培养有利于学生提出问题和解决问题能力的提高。

汤服臣与郭海燕也认为良好的数感是数学创造力的基础,并对进一步的数学学习产生极大影响作用。只有当数感积累到一定程度才谈得上在有关数的问题上进行创新，发现数量关系及其规律中本质的东西,并在新的情境中形成新的联接,而获得解决问题的有效方法。因此数感对于数学来说有着重要作用。

滕发祥认为数感的具有其重要的教育价值；建立数感有助于提高学生的数学素养；建立数感有助于学生对数学知识的自我构建；建立数感有助于发展学生的创新精神和实践能力；建立数感有助于提高学生的文化修养。

而罗玉华也认为：发展数感有利于学生数学地思考问题,提高数学素养；发展数感有利于培养学生的创新精神和实践能力；发展数感有利于传承民族文化与思维习惯；发展数感能增强元认知能力。

对于学生的数学素养的提高是学者们一致的看法，而数感还能够培养学生的数学思维。不管是从学者们的研究还是从《课标》中看，数感都具有其重要的价值。因此，培养学生的数感是及其重要的。

（四）小学生数感的培养

虽然对于数感的涵义和数感的组成上学者们都有各自的不同理解争议，但是对于数感的培养，学者们都意见比较一致，都认为要在教学中培养数感。对于数感的培养的研究，国外研究者很早就进行了研究，也取得了一定的成果，相较于国内来说，其成果是较为丰富的。国外学者还开发了相应的课程来培养学生的数感。

Griffin等开发的“NumberWorld”是在美国有较大影响的数感课程。它用数学游戏活动的方法来理解加法、减法和数量等概念，以此来培养学生的数感。Clements等开发的“BuildingBlock”课程，除了学校游戏活动课程，还有在父母引导下做的有关数感实践的活动的家庭活动。

学者叶蓓蓓认为，数感的培养应从以下几个方面入手：（1）注重概念教学，同时在概念教学中注意教学情境的创设；（2）培养学生的估算能力；（3）让学生学会用自己的语言解释数学，同时用数学的语言去解释现实问题。

郭民，史宁中认为小学生数感的培养要经历三个阶段：首先，让学生学会用自己的语言解释数学，同时用数学的语言去解释现实问题；其次，通过用多种方法来表示数，在具体情境中把握数的相对大小关系，从实际问题中抽象出数量关系，用所学知识解决问题，进一步学习各种数及有关运算；最后，通过代数式、方程等知识的学习，探索数与形及在实际问题中蕴含的数量关系和规律。

马云鹏教授和史炳星教授认为要在教学中培养数感：在数概念教学中重视数感的培养；在数的运算中加强数感的培养；结合具体的问题，选择恰当的算法，会增强对运算实际意义的理解，培养学生的数感。引导学生探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，会进一步增强学生的数感。

而罗玉华认为培养数感的教学，要做好以下几个方面：重视对数的含义的理解；重视对运算意义的理解；重视用自己的语言解释数学和用数学语言解释现实问题；重视问题解决活动。

二、启示

综合上述国内外学者对于数感的研究，我们可以看到对数感的研究成果的丰硕。但在这丰富的研究中，我们也能发现国内对数感的研究的问题。国内对于数感的研究更多的仍停留在理论的层面，更多的是一线教师基于教学实际的经验式的探讨。尽管也有部分学者进行了实证的研究，但总体说来，在这方面的研究仍然缺乏。学生数感培养关键期的小学低年级更是缺乏相对的系统的研究，同时对于数感研究的农村研究相对较少，尤其是在教学中对学生的数感培养的问题。对于数感的培养缺乏具体的手段。对于数感的研究，国内外也有很多学者。而对于农村小学的数感培养，研究的也较少。笔者在“CNKI”上输入关键词“农村数感”，相关的研究只有25篇。

国内对于数感培养的实证研究比较少，在国内的已有研究中，更多是一线的教师结合实际经验对数感的培养提出的自己的见解，在分析和总结后，可以概括为以下几点：一、结合现实生活，在实践和活动中培养学生的数感；二、在教学中创设问题与游戏情境；三、在加强估算中培养学生数感；四、让学生在自主探索研究以及问题解决中培养数感。更为深入的是东北师范大学硕士李明娜《农村小学生数感状况的调查研究》，西南大学硕士生吴文斌的《农村小学生数感的测量研究》。在十九大报告中指出要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”，为响应国家号召，现在应深入对农村教育研究。因此，对农村数感的研究也是应然之势。

参考文献

[1]马云鹏，史炳星.认识数感与发展数感[J]．数学教育学报，2002，11（2）：46–49．

[2]叶蓓蓓.对数感的再认识与思考[J]．数学教育学报，2004,13（2）:34—36.

[3]詹国梁.数感的内涵[J]．苏州教育学院学报，2005,22（1）：69—71.

[4]史宁中，吕世虎.对数感及其教学的思考[J]．数学教育学报，2006,15（2）：9—11.

[5]汤服成，郭海燕.`数感”与“数感”的习得—学习《课程标准》的一点体会[J]．广西右江民族师专学报，2003,16（3）：1—4.

[6]滕发祥.数感及其教育价值[J]．课程·教材·教法，2004，24（12）：47—50.

[7]陆珺．国内数感研究综述［Ｊ］．课程·教材·教法，2009,29（6）：46—50.

[8]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］．北京：北京师范大学出版社，2012:5—9.

[9]罗玉华.数学课程改革中的“数感”［J］．教育探索，2008:9.

[10]霍雨佳，郭成，杨新荣.国外数感研究评析及启示［J］．课程·教材·教法，2015:2.

[11]何小亚.全日制义务教育阶段数学课程标准（实验稿）刍议［J］．数学教育学报，2003:2.

作者简介：马翔宇（1992年11月—），女，汉族，四川雅安人，硕士研究生在读，单位为内蒙古师范大学，研究方向为课程与教学论专业。