计算机模拟算法在数学建模中的运用

计算机模拟算法在数学建模中的运用

张梦笑

山西电力职业技术学院（国网山西省电力公司技能培训中心） 山西太原 030021

摘要：我国科学技术近些年来发展迅速，特别是电子计算技术日趋成熟且已经广泛应用于各个领域。其中，在数学建模等教育领域计算机模拟算法发挥着非常重要的作用，是研究这些学科的算法基础。基于此，文章从Monte Carlo 方法、离散系统的模拟等方面入手，并通过列举实例对数学建模中计算机模拟算法的运用进行了详细分析，希望能够为以后的研究工作提供一些参考。 关键词：计算机模拟算法；数学建模；运用

近些年来，我国网络信息技术发展迅速，并且以计算机为代表的网络信息化设备已经广泛应用于教育领域，特别是在模拟技术方面发挥着非常重要的作用。而将计算机应用到数学建模中，不仅能够提高计算效率，同时还能够使获得的结果更加准确，从而能够在更大的范围内解决相应的问题，由以往确定领域向非确定性的领域转变。

1 预备知识

1.1 计算机拟合

在实际生活中，我们会遇到很多系统，另外也经常遇到很多系统的随机现象，对真实系统的运行进行模拟和模仿，通过设计相应的实验项目，并使其按照设计路线运行，然后将系统运行过程中的特性详细记录下来，并在此基础上根据最终的运算结果进行决策，这整个过程就叫做计算机模拟。目前，在实际的生产、生活中很多方面都需要使用到计算机模拟，通过模拟可以将原来简单、少量转化为复杂、多数，这对我国交通运输的不断完善以及我国社会主义市场经济的发展起到了巨大的推动作用。

1.2 数学建模

数学知识在以往诸多领域还未成型的阶段就已经被广泛应用，当今时代社会生活中的各个领域早就被各种数学知识所覆盖，并且在越来越多的方面发挥着重要的作用，比如金融财经、城市化建设等等。构建数学模型的根本目的是更好地解决当前实际生产、生活中遇到的问题，数学模型的本质是现实生活中相关问题的提炼和凝聚。而所谓的数学建模就是指利用专业数学知识对实际现象进行描述的过程。其中所说的实际现象，一方面包括自由落体等特定的现象，另一方面也包括顾客对商品的估价倾向等抽象现象；而所谓的描述除了描述外部形式和内部机制之外，还包括预测、解释实际现象^[1]。

2 计算机模拟算法在数学建模中的运用

2.1 Monte Carlo 方法

作为计算机模拟的基础，Monte Carlo 方法最早起源于18实际中晚期的法国。当时的一位法国科学家蒲丰提出可以使用Monte Carlo 方法对圆周率π进行计算，也就是随机投针法，后来人们称之为蒲丰投针问题。Monte Carlo 方法主张先将一个概率模型构建起来，并将该模型的参数或者相关方面的特征量设置为所求问题的解，之后利用模型进行统计，也就是将某事件发生的百分比统计出来。在这个过程中只要实验的次数足够多，得到的百分比就与事件发生的概率越接近。其实这就是统计层上对概率的定义。在实验数学中，Monte Carlo 方法是一个重要分支。

2.2 离散系统的模拟

所谓的离散系统就是指在可数的时间点上或者有限的时间点上系统会出现随机事件。以排队系统为例，很明显只有在离散的随机时间上才会出现状态量的变化。我们可以假设在某一个时间点上离散系统的变化是在瞬间完成的。接下来，以库存问题为例进行分析。库存问题在企业的实际运转过程中经常遇到，往往会给销售部门以及企业的正常运转造成严重的困扰，过多的库存会增加销售难度，但是库存过少有会使顾客的实际需求无法得到充分的满足，从而对企业的效率造成不良影响。库存问题常常表现为何时进货、进货量应定为多少等等。因此，在企业的生产经营活动中，要及时出售已经生产出来的货物，否则有可能会使货物面临失效的危险。在这种情况下，为了使企业的经营运转更好的进行，可以针对库存问题将以下解决方案设计出来。方案一：与前一天的销售量进行对比，然后以此为依据设计当天的库存量；方案二：企业当天的库存量依照产品连续两天销售量的平均值^[2]。

2.3 实例分析

以“车灯线光源的优化”这一问题为例，从而这个数学题目就可以看出其来自于实际生活中的问题。由于在理论上存在较大的困难，对于设计要求的最优长度的线光源无法予以充分的满足，因此利用计算机模拟技术将与设计要求最相符合的线光源求解出来，由此可见计算机模拟在数学建模中发挥的重要作用。

2.3.1问题阐述

某汽车头部安装了一个旋转抛物面形状的车灯，车灯水平指向正前方，其开口半径和深度分别为36毫米、21.6毫米。将均匀分布且有一定长度的线光源经过车灯的焦点对称地放置在与车灯对称轴相垂直的水平方面上，要求按照某一设计规范对线光源的长度加以确定。简化该设计规范后如下所示：将一个测试屏放置在距离焦点F正前方25厘米处的A点，且FA与屏互相垂直，其主要作用是对车灯反射光进行测试。过A点在屏上引出一条直线，且该直线与地面，互相平行，之后在直线的A点一侧取两个点，命名为B点和C点，并使AC的长度与2AB的长度相等，均为2.6米。另外，与某一额定值相比C点的光强度不应小于该值，并且B的光强度应为该额定值的2倍或者以上。在与该设计规范的条件相符合的情况下对线光源长度进行计算，求出最小的线光源功率。

2.3.2模型基本假设

首先，假设无数个点光源叠加形成了线光源；其次，对于抛物面上光的折射不予考虑，同时假设空气不影响光的传播强度；三是对车灯前配置镜面对反射光方向可能产生的影响不予考虑^[3]。

2.3.3构建模型并求解

原点O设为抛物面的顶点，以x轴为对称轴，y轴为平行于线光源且进过O点的直线，z轴为垂直于xy平面且都经过顶点的直线，由此可将空间直角坐标系建立起来。之后根据题目中的条件和相关数据可以将旋转抛物面的方程求解出来，即60x=y²+z²。之后根据空间解析几何的相关知识以及光路的几何原理并结合题目条件，即可求出经过点p的入射光线方程为：y=y0+[6000（-11700-15000y₀+13 ）]/[1350810000-9360000 + ]×（x- /60）；同样也可以求出过p点且达到c点的入射光线方程为：y=y₀+[12000（-11700-7500y₀+13 ）]/[1350810000-9360000y₀-1498200 + ]×（x- /60）。之后利用计算机进行模拟，虽然本题中是连续型的线光源与起反作用的抛物线，但是为了粒子化处理到达B、C两点的光线，可以将其看做离散型点列。之后利用Matlab语言进行相应的编程。在本文的研究重视经过多次的实验和比较，可以得出最优线光源长度为L=2·l=3.94毫米。此时，到达B、C两点的光线的光强度之比大概为2:1，这与题设条件完全相符。

结束语：

总而言之，将计算机应用到数学建模过程中，能够更加精确、快捷的求出答案，并且还能够进一步扩大解决问题的范围，使连续的确定性领域向非确定性领域进行转化，在这类问题的处理中计算机模拟发挥着非常重要的作用。

参考文献：

[1]冯登, 王俊杰, 付泓锐,等. Monte Carlo模拟和K-均值聚类算法的赤平极射投影概率分析[J]. 科学技术与工程, 2017(23):81-87.

[2]韩征, 粟滨, 李艳鸽,等. 基于蒙特卡洛模拟的图像二值化增强算法%An enhanced image binarization method incorporating with Monte-Carlo simulation[J]. 中南大学学报(英文版), 2019(006):1661-1671.

[3]梁劭颖, 马国栋. 计算机模拟在数学建模中的应用探讨[J]. 科学咨询(科技·管理), 2018(10):60-61.