中考《锐角三角函数》解题策略

中考《锐角三角函数》解题策略

何代宇

铜仁学院附属中学 贵州 554300

《锐角三角函数》是中考的必考点，与相似三角形等知识点结合，极具灵活性.这要求我们在理解直角三角形中五个元素的关系、运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的基础上，会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决.

我们可以从以下几方面找到《锐角三角函数》解题策略，达到以“不变”应“万变”的功效。

一、基础知识

（一）锐角三角函数的定义

如 下图，在Rt△ABC中，∠C＝90⁰，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则∠A的：

1 .正弦：

2.余弦：

3 .正切：

（ 二）特殊角的三角函数值

注：我们_有很多学生在考试时因为紧张等原因，常常出现竟然把特殊锐角的三角函数值记错了现象，因此我们只要要求学生记住右边的两个特殊直角三角形，就记住了特殊角的三角函数值了，就不会出错了。

（三）规律探索

1.（1） ；

（2）tanA＝

2.（1）sinA＝cos（90°一 A）＝cosB；

（2）cosA＝sin（90°一A）＝sinB

3.（1）0＜sinA＜1；0＜cosA＜1

4.三角函数值的变化规律

（1）当角度在0°— 90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大；

（2）当角度在0°— 90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小。

（3）45⁰的正弦值等于其余弦值。

（四）应用中的常识

1 .仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫 ；视线在水平线下方的角叫 。（如图1示）

2.坡度（坡比）、坡角：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角a叫坡角，i=tana= 。（如图2示）

3.方向角：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度。如图，A点位于O点的北偏东30⁰方向，B点位于O点的南偏东60⁰方向，C点位于O点的北偏西45⁰方向（或西北方向）。（如图3示）

二、具体应用

（一）方法技巧

由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

若直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么A、B、C，a，b，c中除∠C＝90°外，其余5个元素之间有关系：

（l） ；

（2）∠A十∠B＝90°；

（3） ； ； ；

所以，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余3个未知数。

（二）基础过关

1.在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinA= ，cosA=  ，tanA=  ．

2.2sin60⁰－tan60⁰＋cos60⁰＝ .

3.在△ABC中，∠C=90°， ∠A=60°，AC=3，则BC= ．

4.如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝ ，BC＝2，求sin∠ACD的值．

5.如图5，已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求sin∠ACB的值．

6.如图6，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则cosA=_______．

7. 如图7，已知△ABC的外接圆O的半径为6，AC=8，则sinB = ．

8. 如图8，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ．

9.如图9，△ABC中，∠C为直角，D为BC边上一点，∠B=30º，∠ADC=45º，BD=10cm．求AC的长．

（三）高分训练

1.如图10，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，求sinC的值。

2.如图11，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC．

（ 1）求证：AC＝BD；

（2）若 ，BC＝12，求AD的长．

三、解题策略

引导学生总结锐角三角函数的应用中，最关键的数学思想：“构造”与“转化”。通过“构成”合适的直角三角形，对问题进行求解；利用相关知识，进行有效“转化”进而求解。