天津市第二南开学校
摘要:深度学习区别于传统学习,就促使了教学方法的变革,从“深度学习”走向“深度教学”,从而落实到学生的学法和教师的教法的深刻变革中,教学的目的从教会学生知识,变革为提升学生的认知水平和掌握思维方式。向量进入数学并得到发展,是从复数的几何学表示开始的,发展到现在,向量在数学、物理、计算机科学与技术等学科,以及社会生产、生活、经济、金融与贸易等各领域中都有广泛的应用。因此,深入理解向量,充分掌握向量这一工具十分重要。
关键词:深度学习;平面向量
深度学习是指在真实复杂的情境中,学生运用所学的本学科知识和跨学科知识,运用常规思维和非常规思维,将所学的知识和技能用于解决实际问题,以发展学生的批判性思维、创新能力、合作精神和交往技能的认知策略。
“深度学习”区别于传统学习,就促使了教学方法的变革,从“深度学习”走向“深度教学”,从而落实到学生的学法和教师的教法的深刻变革中,这样就把核心素养从一个抽象的理论落实到一个看得见、摸得着的行动。因此,教学的目的从教会学生知识,变革为提升学生的认知水平和掌握思维方式。
如何理解深度学习中的“深”。就平面向量一章来讲,在高考试卷中是一道选择或填空,知识本身并不难,内容也不多,但学生掌握起来却很困难。究其原因是我们对于向量的认知不够深入。向量进入数学并得到发展,是从复数的几何学表示开始的,向量的几何表示又用于研究几何三角问题,发展到现在,向量在数学、物理、计算机科学与技术等学科,以及社会生产、生活、经济、金融与贸易等各领域中都有广泛的应用。因此,深入理解向量,充分掌握向量这一工具是多么重要。接下来笔者将详细阐述基于深度学习的向量单元设计。
一、“深”在知识体系上
所谓深度学习不是内容有多深,知识有多难,而是通过一些线索将各种有用的知识点贯穿起来,理解教学的方法,并利用好那些方法。
向量单元从整体看是两条脉络即几何表示和坐标表示,这也是解决向量问题的两种方法,这是向量的特点,也正是初学者的困难所在。很多学生在初学时,遇到题目不知道选择哪种方法。究其原因就是学生只学到了向量的知识点,而没有将这些知识形成系统结构。因此,笔者在教学中让学生绘制向量单元的知识结构思维导图,完成后学生就会清晰地认识到解决向量两种方法的突出特点,进而找到解决问题的方法就是已知即方法,具体说就是已知条件给的坐标就用坐标法,已知条件给的夹角和模就用几何法。
但这只是解决了初学者的简单问题,对于高考难度的题目又束手无策了。继续引导学生完善思维导图,我们将两条脉络联系起来,工具就是平面向量基本定理,这样就能发现通过建立平面直角坐标系,将几何图形放入平面直角坐标系中,从而用代数的方法解决几何问题,就使得题目简单了。高考题考查的都是这种方法,因为这体现向量的巨大作用,也是向量的本质。
接下来,问题又来了,如何建立平面直角坐标系,也就是坐标原点和坐标轴如何选?这个问题的解决需要一定的经验积累,通过引导,学生在不断积累中就会发现,以直角或特殊角的顶点为坐标原点,将动点放在坐标轴上就会使解题过程变得简单。
在向量单元学习中,利用思维导图,首先将零散的知识点放入系统中发现了两条脉络,解决了基本问题;其次找到两条脉络之间的关系和桥梁,发现了用代数方法解决几何问题,解决了中档题;最后通过不断的实践和积累,找到建立平面直角坐标系的根据,简化了复杂题目的解决办法。这就是深入规划知识结构的作用,也是深度学习在系统结构中的充分体现。
二、“深”在教法实践上
要想让学生学会深度学习的方法,养成深度学习的习惯,那就要求教师用深度教法来引导学生,帮助学生。笔者理解深度教学就是解决学生“在哪”,“哪能深”,“深到哪”的问题,也就是要了解学生知识能力、思想方法、精神意识三方面的现有水平,把握学生的认知特点。例如,面对向量单元,学生会如何想?学生已经具备的认知水平在哪?(包括日常生活经验、已掌握的相关知识技能和数学思想方法等)?达成教学目标所需具备的认知水平在哪?“已有水平”和“需要水平”之间存在怎样的差距,哪些差距可以通过学生自己努力而消除,哪些差距需要在教师帮助下才能消除?哪些方面能进行深入探究和培养,能够深入培养到哪个层次?等等。
《课标(2017年版)》将向量内容分两部分安排:平面向量及其应用和空间向量与立体几何,平面向量是空间向量的基础,空间向量是平面向量的推广。在平面向量单元,教材介绍了平面向量及其运算、平面向量基本定理及坐标表示等基本知识,分析了用向量解决一些平面几何问题、物理问题的方法,特别是用向量方法证明正、余弦定理,让学生感受平面向量是体现“形”与“数”融合的重要载体。
从知识能力方面来说,学生对数、方程、不等式的运算已有强大的基础,具有一定的运算能力,并且也接触了物理学中力、速度、位移等矢量,会运用正交分解和平行四边形法则。教学中,我们需要从学生现有知识中抽象出向量的概念,充分利用教材中“思考”、“探究”栏目引导学生对向量的概念精准定义,类比落实运算方法及运算律,本单元中“思考”、“探究”栏目设置了大量问题,利用问题串启发学生独立思考,体会数学知识的形成过程,提高学生的数学思维水平。例如,在学习平面向量加法运算时,通过“思考”栏目,创设从位移的合成到平面向量加法的问题情境;在研究平面向量加法的运算律时,提出“数的加法满足交换律、结合律,向量的加法是否也满足交换律和结合律呢?”的类比推理问题;在得出向量的减法法则后,通过“探究”栏目“向量减法的几何意义是什么?”突出向量的几何应用。这样的问题设计有利于学生从物理、几何、代数等角度思考和解答问题,达成了“四基”,“四能”的目标,进而提升了学生的数学学科核心素养。知识的获得也许过去“填鸭式”教学可以做到,但知识的长久掌握和能力的提升是要通过让学生参与发现问题—提出问题—解决问题的整个过程,才能够不断完成的。这恰是新教材要引领的让学生能够深入思考,深度探究的学习方法。
从思想方法方面来说,学生已经具有类比推理,数形结合的意识,平面向量单元首先从物理、几何等具体矢量抽象归纳出向量的概念;与数、方程、不等式的运算类比推理得到向量的运算及运算律;向量的两种运算方法之间的转化完美诠释了数形结合的数学思想。在向量单元知识学习过程中,将特殊与一般、化归转化、数形结合的数学思想方法一步步地融入、强化、加深。
从精神意识方面来说,在这方面学生是比较欠缺的,也是绝大部分教师忽视的,其实数学教育是工具性和价值观的统一体,数学课堂是“德智融合”的,科学精神的培育是在“四基”,“四能”的教学中自然而然地融入的,从而实现数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算这些核心素养,最终把育德和育智紧密结合起来,完整体现数学教育的真谛。
反过来,深度学习只有立足学生的核心素养的培养,才能收获相应的能力。培养学生能够做到:首先,遇到问题时,利用自己的逻辑推理能力和合乎逻辑的想象能力从事实出发,得到正确的结论。这就是判断力,是学习数学的一个重要目的;其次对于一个未知问题,知道如何一步步抽丝剥茧地解决它,这就是解决问题的能力;最后,当遇到新的问题时,知道用什么工具来解决或者找谁来帮忙即使用工具的能力。只有这样数学知识能力、思想方法、精神意志才能用于观察世界、思考世界、表达世界。
三、“深”在德育渗透上
深度学习,就是实现由法律上、经济上的自由人提升到精神上的自由人。这与《普通高中课程方案(2017年版)》指出的:进一步提升学生的综合素质,着力发展学生的核心素养,使学生具有理想信念和社会责任感,具有科学文化素养和终身学习能力,具有自主发展能力和沟通合作能力的目标完全一致,这一培养目标事实上就界定了高中各科共同的德育内涵。
但是人们往往认为“德育”与数学教学“弱相关”,以为数学课堂中以推理、运算等主要数学但都似乎与人的道德、品性等没有直接关联,但事实这仅是表面现象。数学教育中的德育是深层次的,有其独特的内涵。以向量加法运算为例:
左图显示的四种情况,两个模相等夹角不同的向量相加,当夹角为0°即两向量同向时其和向量的模最大。这充分说明,做事情力量要用到一处,聚焦很重要。一个人要想成功,必须目标坚定,所做的事情都超着既定目标努力,如果总是摇摆就会出问题。多人合作就要保证所有人形成一个方向的合力,如果一群人往不同方向使劲,即使在各个方向都很努力,这些努力也会相互抵消了,事倍功半。
力和位移两个向量的数量积就是功,如右图所示这两个向量的夹角越大功越小,也就是说即使再用力,如果用力的方向和位移不一致,做功的效果就不好。在现实社会中,一个时代的总趋势,就是位移的方向,这是自身无法改变的,能改变的只有自己用力的方向,用力的方向和时代发展的趋势一致,做功的效果就好。
上面两个平面向量的实例,通过对知识的提升分析和深度挖掘,不仅加深了学生对该知识点的理解,还引发了学生对做事态度的思考,甚至启迪了学生的人生观和价值观。笔者认为数学学科培育学生的关键能力、必备品格、正确人生观价值观就是发展学生的数学学科核心素养,而深度学习策略就是培育学生的关键能力、必备品格、正确人生观价值观,两者相辅相成。这是数学学科立德树人的功能和育人贡献之所在。
综上,教师运用“深度教学”的目的就是教会学生深度学习的策略和方法。要想让学生自主构建起知识体系,就要求教师要先筑牢知识大厦的框架,搭建好阶梯,准备好工具,并根据学生搭建的速度和水平随时调整“阶梯”和“工具”,最终实现学生自主选择恰当的“工具”,一层层搭建,并做好层与层之间的连接,筑成有自己独特见解的知识体系。虽然笔者仅以平面向量为例,但是这一过程同样使用于其它单元,其它学科,甚至是生活中的其它事情,这才是深度学习所要实现的,也是数学核心素养所要实现的,更是教育工作所要实现的。
参考文献:
《普通高中数学课程标准(2017版)》中华人民共和国教育部,人民教育出版社,2020年12月;
《吴军数学通识讲义》吴军,新星出版社,2021年4月;
《深度学习走向核心素养》刘月霞、郭华,教育科学出版社,2018年11月;
《高中数学单元教学设计指南》作者:黄华,出版社:人民教育出版,社出版时间:2018年8月。