基于深度学习理念的向量单元设计

基于深度学习理念 的向量单元设计

迟蓬

天津市第二南开学校

摘要：深度学习区别于传统学习，就促使了教学方法的变革，从“深度学习”走向“深度教学”，从而落实到学生的学法和教师的教法的深刻变革中，教学的目的从教会学生知识，变革为提升学生的认知水平和掌握思维方式。向量进入数学并得到发展，是从复数的几何学表示开始的，发展到现在，向量在数学、物理、计算机科学与技术等学科，以及社会生产、生活、经济、金融与贸易等各领域中都有广泛的应用。因此，深入理解向量，充分掌握向量这一工具十分重要。

关键词：深度学习；平面向量

深度学习是指在真实复杂的情境中，学生运用所学的本学科知识和跨学科知识，运用常规思维和非常规思维，将所学的知识和技能用于解决实际问题，以发展学生的批判性思维、创新能力、合作精神和交往技能的认知策略。

“深度学习”区别于传统学习，就促使了教学方法的变革，从“深度学习”走向“深度教学”，从而落实到学生的学法和教师的教法的深刻变革中，这样就把核心素养从一个抽象的理论落实到一个看得见、摸得着的行动。因此，教学的目的从教会学生知识，变革为提升学生的认知水平和掌握思维方式。

如何理解深度学习中的“深”。就平面向量一章来讲，在高考试卷中是一道选择或填空，知识本身并不难，内容也不多，但学生掌握起来却很困难。究其原因是我们对于向量的认知不够深入。向量进入数学并得到发展，是从复数的几何学表示开始的，向量的几何表示又用于研究几何三角问题，发展到现在，向量在数学、物理、计算机科学与技术等学科，以及社会生产、生活、经济、金融与贸易等各领域中都有广泛的应用。因此，深入理解向量，充分掌握向量这一工具是多么重要。接下来笔者将详细阐述基于深度学习的向量单元设计。

一、“深”在知识体系上

所谓深度学习不是内容有多深，知识有多难，而是通过一些线索将各种有用的知识点贯穿起来，理解教学的方法，并利用好那些方法。

向量单元从整体看是两条脉络即几何表示和坐标表示，这也是解决向量问题的两种方法，这是向量的特点，也正是初学者的困难所在。很多学生在初学时，遇到题目不知道选择哪种方法。究其原因就是学生只学到了向量的知识点，而没有将这些知识形成系统结构。因此，笔者在教学中让学生绘制向量单元的知识结构思维导图，完成后学生就会清晰地认识到解决向量两种方法的突出特点，进而找到解决问题的方法就是已知即方法，具体说就是已知条件给的坐标就用坐标法，已知条件给的夹角和模就用几何法。

但这只是解决了初学者的简单问题，对于高考难度的题目又束手无策了。继续引导学生完善思维导图，我们将两条脉络联系起来，工具就是平面向量基本定理，这样就能发现通过建立平面直角坐标系，将几何图形放入平面直角坐标系中，从而用代数的方法解决几何问题，就使得题目简单了。高考题考查的都是这种方法，因为这体现向量的巨大作用，也是向量的本质。

接下来，问题又来了，如何建立平面直角坐标系，也就是坐标原点和坐标轴如何选？这个问题的解决需要一定的经验积累，通过引导，学生在不断积累中就会发现，以直角或特殊角的顶点为坐标原点，将动点放在坐标轴上就会使解题过程变得简单。

在向量单元学习中，利用思维导图，首先将零散的知识点放入系统中发现了两条脉络，解决了基本问题；其次找到两条脉络之间的关系和桥梁，发现了用代数方法解决几何问题，解决了中档题；最后通过不断的实践和积累，找到建立平面直角坐标系的根据，简化了复杂题目的解决办法。这就是深入规划知识结构的作用，也是深度学习在系统结构中的充分体现。

二、“深”在教法实践上

要想让学生学会深度学习的方法，养成深度学习的习惯，那就要求教师用深度教法来引导学生，帮助学生。笔者理解深度教学就是解决学生“在哪”，“哪能深”，“深到哪”的问题，也就是要了解学生知识能力、思想方法、精神意识三方面的现有水平，把握学生的认知特点。例如，面对向量单元，学生会如何想？学生已经具备的认知水平在哪？（包括日常生活经验、已掌握的相关知识技能和数学思想方法等）？达成教学目标所需具备的认知水平在哪？“已有水平”和“需要水平”之间存在怎样的差距，哪些差距可以通过学生自己努力而消除，哪些差距需要在教师帮助下才能消除？哪些方面能进行深入探究和培养，能够深入培养到哪个层次？等等。

《课标（2017年版）》将向量内容分两部分安排：平面向量及其应用和空间向量与立体几何，平面向量是空间向量的基础，空间向量是平面向量的推广。在平面向量单元，教材介绍了平面向量及其运算、平面向量基本定理及坐标表示等基本知识，分析了用向量解决一些平面几何问题、物理问题的方法，特别是用向量方法证明正、余弦定理，让学生感受平面向量是体现“形”与“数”融合的重要载体。

从知识能力方面来说，学生对数、方程、不等式的运算已有强大的基础，具有一定的运算能力，并且也接触了物理学中力、速度、位移等矢量，会运用正交分解和平行四边形法则。教学中，我们需要从学生现有知识中抽象出向量的概念，充分利用教材中“思考”、“探究”栏目引导学生对向量的概念精准定义，类比落实运算方法及运算律，本单元中“思考”、“探究”栏目设置了大量问题，利用问题串启发学生独立思考，体会数学知识的形成过程，提高学生的数学思维水平。例如，在学习平面向量加法运算时，通过“思考”栏目，创设从位移的合成到平面向量加法的问题情境；在研究平面向量加法的运算律时，提出“数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢?”的类比推理问题；在得出向量的减法法则后，通过“探究”栏目“向量减法的几何意义是什么?”突出向量的几何应用。这样的问题设计有利于学生从物理、几何、代数等角度思考和解答问题，达成了“四基”，“四能”的目标，进而提升了学生的数学学科核心素养。知识的获得也许过去“填鸭式”教学可以做到，但知识的长久掌握和能力的提升是要通过让学生参与发现问题—提出问题—解决问题的整个过程，才能够不断完成的。这恰是新教材要引领的让学生能够深入思考，深度探究的学习方法。

从思想方法方面来说，学生已经具有类比推理，数形结合的意识，平面向量单元首先从物理、几何等具体矢量抽象归纳出向量的概念；与数、方程、不等式的运算类比推理得到向量的运算及运算律；向量的两种运算方法之间的转化完美诠释了数形结合的数学思想。在向量单元知识学习过程中，将特殊与一般、化归转化、数形结合的数学思想方法一步步地融入、强化、加深。

从精神意识方面来说，在这方面学生是比较欠缺的，也是绝大部分教师忽视的，其实数学教育是工具性和价值观的统一体，数学课堂是“德智融合”的，科学精神的培育是在“四基”，“四能”的教学中自然而然地融入的，从而实现数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算这些核心素养，最终把育德和育智紧密结合起来，完整体现数学教育的真谛。

反过来，深度学习只有立足学生的核心素养的培养，才能收获相应的能力。培养学生能够做到：首先，遇到问题时，利用自己的逻辑推理能力和合乎逻辑的想象能力从事实出发，得到正确的结论。这就是判断力，是学习数学的一个重要目的；其次对于一个未知问题，知道如何一步步抽丝剥茧地解决它，这就是解决问题的能力；最后，当遇到新的问题时，知道用什么工具来解决或者找谁来帮忙即使用工具的能力。只有这样数学知识能力、思想方法、精神意志才能用于观察世界、思考世界、表达世界。

三、“深”在德育渗透上

深度学习，就是实现由法律上、经济上的自由人提升到精神上的自由人。这与《普通高中课程方案（2017年版）》指出的：进一步提升学生的综合素质，着力发展学生的核心素养，使学生具有理想信念和社会责任感，具有科学文化素养和终身学习能力，具有自主发展能力和沟通合作能力的目标完全一致，这一培养目标事实上就界定了高中各科共同的德育内涵。

但是人们往往认为“德育”与数学教学“弱相关”，以为数学课堂中以推理、运算等主要数学但都似乎与人的道德、品性等没有直接关联，但事实这仅是表面现象。数学教育中的德育是深层次的，有其独特的内涵。以向量加法运算为例：

左图显示的四种情况，两个模相等夹角不同的向量相加，当夹角为0°即两向量同向时其和向量的模最大。这充分说明，做事情力量要用到一处，聚焦很重要。一个人要想成功，必须目标坚定，所做的事情都超着既定目标努力，如果总是摇摆就会出问题。多人合作就要保证所有人形成一个方向的合力，如果一群人往不同方向使劲，即使在各个方向都很努力，这些努力也会相互抵消了，事倍功半。

力和位移两个向量的数量积就是功，如右图所示这两个向量的夹角越大功越小，也就是说即使再用力，如果用力的方向和位移不一致，做功的效果就不好。在现实社会中，一个时代的总趋势，就是位移的方向，这是自身无法改变的，能改变的只有自己用力的方向，用力的方向和时代发展的趋势一致，做功的效果就好。

上面两个平面向量的实例，通过对知识的提升分析和深度挖掘，不仅加深了学生对该知识点的理解，还引发了学生对做事态度的思考，甚至启迪了学生的人生观和价值观。笔者认为数学学科培育学生的关键能力、必备品格、正确人生观价值观就是发展学生的数学学科核心素养，而深度学习策略就是培育学生的关键能力、必备品格、正确人生观价值观，两者相辅相成。这是数学学科立德树人的功能和育人贡献之所在。

综上，教师运用“深度教学”的目的就是教会学生深度学习的策略和方法。要想让学生自主构建起知识体系，就要求教师要先筑牢知识大厦的框架，搭建好阶梯，准备好工具，并根据学生搭建的速度和水平随时调整“阶梯”和“工具”，最终实现学生自主选择恰当的“工具”，一层层搭建，并做好层与层之间的连接，筑成有自己独特见解的知识体系。虽然笔者仅以平面向量为例，但是这一过程同样使用于其它单元，其它学科，甚至是生活中的其它事情，这才是深度学习所要实现的，也是数学核心素养所要实现的，更是教育工作所要实现的。

参考文献：

1. 《普通高中数学课程标准（2017版）》中华人民共和国教育部，人民教育出版社，2020年12月；

2. 《吴军数学通识讲义》吴军，新星出版社，2021年4月；

3. 《深度学习走向核心素养》刘月霞、郭华，教育科学出版社，2018年11月；

4. 《高中数学单元教学设计指南》作者：黄华，出版社：人民教育出版，社出版时间：2018年8月。