浅谈初中数学知识点的课外拓展

匡莹萍

（ 扬州市 田家炳实验中学 ，江苏 扬州 225002 ）

摘要：该文结合“双减”政策的要求、目标和课堂教学实践，对初中数学几个重点知识点的课外拓展提出了几点初步想法。

关键词：课外拓展；实数；方程；平面几何；公理化

2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，并发出通知，要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实。“‘双减’政策以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导......坚持学生为本，遵循教育规律......学校教育教学质量和服务水平进一步提升......学生学习更好回归校园。”“双减”政策的目标是减轻“学生过重作业负担和校外培训负担、家庭教育支出和家长相应精力负担。”“双减”政策明确提出“提高课后服务质量。学校要制定课后服务实施方案，增强课后服务的吸引力。充分用好课后服务时间，指导学生认真完成作业，对学习有困难的学生进行补习辅导与答疑，为学有余力的学生拓展学习空间。”^[1]这对中小学教师提出了更高要求，不仅仅要上好课堂内容，更需要帮学有余力的学生拓展知识。作为一名初中数学教师，笔者想结合初中数学课堂教学，谈谈初中数学几个具体知识点进一步课外拓展的基本想法。

1. 数集

小学时期，大家学习了数和四则运算，自然数、整数、有理数的必然存在是容易理解的。进一步考虑无理数进而扩充到实数集时，就不那么容易理解了，而到了初中，可以讲明白无理数存在的必要性。矩形面积公式是大家熟知的，由矩形面积公式结合我国古代著名的弦图，可以证明直角三角形勾股定理。数与数轴上点的对应本质上是直线段和单位直线段之间的长度比。考虑直角边长为1的等腰直角三角形，由勾股定理，其斜边长 满足 ，用反证法可以证明 不是有理数，由此可以得出引入无理数的必要性，从而把有理数进一步扩充为实数。此时，还可以建立实数和数轴上点之间的一一对应。^[2]传统的初中数学课堂里，没有矩形面积公式合理性的严格说明，勾股定理的证明也是放在选读内容里，这些内容我们就可以作为课外的拓展内容，尤其可以针对学有余力、对数学感兴趣的同学进行引导和讲解。

2. 解方程

解一元一次和二次方程是初中的重点内容之一，从代数的角度出发，教师在这部分内容的后期可以引导大家进一步思考一元高次方程的解的问题，介绍一元三、四次方程公式解的艰辛发展历程，激发大家的学习兴趣，并且，可以推荐相关资料给学有余力的同学阅读。进一步，可以讲述一元五次及更高次方程公式解的问题，这与前面的三、四次方程有着本质的区别，最终在19世纪由阿贝尔和伽罗华解决，伽罗华还创立了群论，给出了一元高次方程公式解存在的充分必要条件。群论的创立使得数学有了天翻地覆的变化。从几何的角度出发，在讲解直线方程和抛物线方程时，注意数形结合，尤其要帮学生理清楚一元二次方程的系数及解的判别和一元二次函数图像之间的联系。最后，从解方程的角度出发，也可以看出来无理数的必要性。方程 在有理数集上是没有解的，扩充到实数集上就有两个解。进一步，作为介绍，考虑方程 ，显然在实数集上无解，我们可以考虑把实数集也进行扩充，到复数集，这样就能保证该方程有解。实际上，一元多项式方程在复数集上都有解，并且解的个数与方程的次数相等，这就是著名的代数基本定理，而到目前为止，初等数学是无法证明这个定理的。^[3]这些内容的介绍可以激发学生对数学的兴趣及求知欲，比如，复数到底是什么样的数？代数基本定理的证明是什么样的？同时也为进一步学习高等的数学知识埋下伏笔。

3. 平面几何的公理化

平面几何主要取材于欧几里得的《几何原本》，这部著作首次运用了公理法，对数学学科的影响自然不必赘述，对西方的各学科领域，尤其是自然科学的影响及其深远，后来的很多学科著作都是借鉴这样的方法，包括牛顿的《自然哲学的数学原理》，冯.诺伊曼的《量子力学的数学基础》等，罗素等哲学家也尝试在自己的著作中采用公理化结构。知己知彼，百战不殆，要理解西方的科学、人文体系从而为我所用，平面几何是一个最佳的切入方式。教师需要让学生从大的方向上把握平面几何，让学生了解公理化方法的基本原理。公理法的三个组成要素：（1）基本量；（2）公理；（3）基本逻辑。平面几何就是建立在点、直线、点和直线的位置关系等基本量，给出若干几何公理，通过逻辑演绎的方式推导几何结论。从几条显而易见的简单公理出发，可以推导出很多无法用几何直观得出的结论，这种方法具有很强的说服力，最能体现理性的清晰、确定性。《几何原本》中最受关注的一条公理是欧几里得平行公理，从建立之初，很多数学家都尝试过利用其他几条公理去证明它，两千多年的历史里无一不以失败而告终。直到十九世纪，才由高斯、波尔约、罗巴切夫斯基分别独立发现，欧几里得平行公理是独立于其他公理而存在的，在不改变其他公理前提下，把欧几里得平行公理替换成它的两个反命题，不会产生任何矛盾，进一步可以建立新的非欧几何学，是现代数学的开端，直接影响了爱因斯坦的相对论的建立。这部分的拓展可以让学生了解到公理化方法的重要性和威力。如今，各国都在投入大量的人力和资金在大数据、人工智能等新兴领域，目的是要抢占先机。面对人工智能领域，最重要的一个问题恐怕是能否为它构建一套完备的公理体。这个问题不解决，就不能保证人类不会受到技术进步带来的反噬。

4. 定性和定量平面几何

在定性平面几何中，两个三角形全等的判定定理有“角边角”、“边角边”和“边边边”几种，从这个角度来看，一个三角形虽然有三条边和三个角，但是它可以仅由“两条边及其夹角”、“两个角及其所共的边”和“三条边”分别唯一确定。在学习定量几何时，给定三角形 ，其面积记为 ，设三顶点 所对的三条边分别为 ，根据上述三角形的判定定理，三角形的面积也必然由上述三组边角条件确定，则有第一组三角形的面积公式 ，这也是初中所熟知的。类似于伽罗华理论，我们清楚数学里存在的量不一定可以用公式表达出来，所以另外两个分别用“两个角及其所共的边”和“三条边”来表达三角形面积是一个很实际的问题。用三边的长表达三角形面积公式实际上就是著名的海伦公式，这不是初中的必学内容，可以放在课外拓展里。用“两个角及其所共的边”表达三角形面积则可以留作一个思考题给学有余力的同学认真思考。这样既丰富了课外拓展，也给了感兴趣的同学进一步探索问题的机会，从而培养学生举一反三、触类旁通的创新能力。

在课后的知识拓展里，如果能够强化基本的数学思想、思考数学问题的方式的教学，那么就能起到“授人以渔”的效果，在以后的深入学习甚至研究中才有能力作出创新工作，从而为我国的伟大复兴作出应有的贡献。

参考文献：

[1] 于珊. 中共中央办公厅 国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》[EB/OL](2021-5-28)[2021-8-11].

https: //www.gov.cn/zhengce/2021-07/24/content_5627132.htm

[2] 项武义. 基础几何学[M]. 北京：人民教育出版社, 2003.

[3] 克莱因. 古今数学思想[M]. 张理京，张锦炎，江泽涵等，译. 上海：上海科技出版社，2009.

作者简介：匡莹萍，女，扬州市田家炳实验中学，教师，教学方向：初中数学。