裂变与聚变中深度思考-《植树问题》课例研究

裂变与聚变中深度思考 -《植树问题 》课例研究

周雅梅

上海市青浦区 赵屯小学

（引言）

问题解决能力是学生运用认知基础、规则策略、合理方法对客观问题进行分析并最终解决问题的能力。但在小学数学的问题解决教学中，我们会遇到一个棘手的问题，学生的问题解决能力很浅，主要体现在两个方面：1.学生缺乏对条件变化后深度思考的能力。2.照本宣科，依赖公式只会解决与例题同质性的问题。通过分析，我们得知造成这一系列问题的主要原因是，课堂时间容量的限制下，教师在教学设计时不得不将问题导引的等量关系传授给学生，问题的数量与种类很有限，大部分学生只有解决一种问题的能力。因此我们需要在时间不变的情况下提高问题的容量，使学生掌握将多种问题解决策略聚合为一类问题解决策略的能力，并使学生问题解决的能力深度化。

因此，围绕着上述目标，我尝试了精简引入环节和练习环节，采用“元问题”的线索推进问题解决课，来有效促进学生深度问题解决能力的形成。元问题是一类问题的起始和根源，所有新问题的产生都是建立在元问题的基础上。当不同的变量因子与元问题混合交融时，就会创造出逐渐复杂的诸多新问题。由于元问题的条件不确定性，导致学生在解决元问题时发散性思考，使新问题的数量瞬间指数性裂变。再将这些裂变的产物通过分析排除、质疑思考等方式，新问题被逐一合并解决，问题的数量经历这样聚变过程而衰减成类。最终经过思考总结，学生对这一类的问题解决策略就有了深度的理解。

所以在执教三年级第一学期《植树问题》时，重设教学活动的时间分布，以带有不确定性条件的元问题作为整节课的引线，巧妙运用自主质疑等手段，使问题数量经历裂变到聚变的过程，学生亲历问题的形成与解决过程，实现了一类问题解决能力的深度达成。

（教学再现）

一、问题呈现

师：今天老师给大家带来了一个生活问题，这个问题困扰了我很久，想请同学们来一起解决，好吗？

出示：有一条20米的小路，在小路的一边每间隔5米要种一棵树，一共要准备多少棵树？

活动一：摆一摆，算一算

师：现在请小朋友们在学习单上尝试着摆一摆、算一算，要准备多少棵？

【元问题的裂变】

师：你们摆出结果了吗？来看看你们都算出来需要准备几棵树啊？

生：我算出来需要6棵

师：还有其他结果吗？

生：我算出来需要5棵

师：还有其他结果吗？

生：我算出来需要4棵

师：还有其他结果吗？

生：我算出来需要3棵

师：还有其他结果吗？

生：我算出来需要10棵

师：还有其他结果吗？

全体：没有了

【问题的聚变】

师：有那么多结果啊，那我到底要准备几棵呢？请算出来3棵的同学来黑板上摆一摆，你是怎么算的？

生： 我是这样算的，这样种3棵树之间的间距都是5米了

师：有道理啊，你是两个端头都不种树，这样的3棵树间距都是5米，对的！

师：那算出5棵树的同学来摆一摆解释一下，你是怎么算的？

生：我是在这段路的两个端头都种上树，所以要种5棵，每两棵树间隔是5米

师：你是在两个端头都种上树，而且每两棵都间隔5米，小朋友们说对不对啊？

全体：对的

师：好，这个方法也有道理，也对！

师：再来请4棵树的小朋友来解释下，怎么种4棵啊？

生：我是在这条小路左边的端头不种树，那就是4棵树，每两棵树的间隔是5米

师：哎，对啊，这4棵树间隔都是5米呀，有道理，那4棵树还有其他种法吗？

生：有的，左边种，右边端头不种也是4棵。

师：哦，那就是只要一个端头不种树，就是4棵树，对的。

师：那6棵树是怎么种的呀？谁知道这6棵树的结果是怎么得出的？

生：我知道，他是把3×2=6棵，3棵是路两端都不种树，×2是他认为路的两边都要种树。

师：噢，原来如此啊。那你们觉得这么种可以吗？有问题吗？

生：有问题，题目条件规定好的是在这条路的一边间隔5米种树，所以不用把另一边的树算进去的。

师：对啊，问题只要我们在路的一边种树就可以了，所以没必要算两边能种多少棵啊，所以6棵是不对的！

师：那8棵对不对啊？你们说这8棵是怎么算出来的？

生：8棵应该也是不对的，他是按一边种4棵，再×2，他也算的是两边的，是不对的。

师：对的，他和6棵的小朋友错的原因是一样的，所以要看清楚条件啊。

师：让我们来回顾下刚才的3种结果：

师：所以，这个问题有三种结果的可能！

师：是吗？这三种都正确吗？有没有小朋友想质疑？

（全班寂静）

活动二：小组讨论

生：我要质疑，请认为是4棵和3棵的同学们注意题目中的条件，“每隔5米要种一棵树”啊，如果两个端头不种树的话，左右的两个端点和他们相邻的树不是都间隔5米了吗，那就得在两个端点种上树！

师：听完他说的，你现在还认为是3棵吗？

师：你现在还认为是4棵吗？

师：对啊，题目要求每隔5米种一棵树啊，同意这个小朋友观点的举手。

师：都同意啦，看来3棵和4棵都是错误的！所以，这个问题只有一种结果，5棵！

师：是吗？就这一种结果吗？3棵和4棵难道都不行？

（全班再次寂静）

活动三：小组讨论

生：我认为4棵是可以的，问题没有说必须要把树从端点开始种啊，如果不从端点种的话，就可以种4棵了

师：你可不可以上来摆给我们看看

师：非常好，没问题，这样每两棵树间隔都是5米，而且前面也没有5米可以种树了。小朋友们同意这种方法吗？

师：那在你这种情况下，如果我把第一棵树种在这里行不行？

生：不行，这样前面就空出5米，端点就要种一棵树了，变5棵树了

师：那第一棵树的位置有什么要求吗？

生：要把第一棵树种在第一段的中间，不能种在端点和第一个5米的头上。

师：小朋友们都同意吗？

师：没错，看来种4棵树还是可以的，只要把第一棵种在前5米处，再相隔5米就能种4棵了。

师：那现在这个问题的结果可能又变成有两个了。

师：是吗？就这两个了吗？

（全班再次寂静）

师：小朋友们再来看条件，一条路，在生活中的小路难道都是直的？

生：路有可能是弯曲的。

生：路有可能是圆形的

师：我们先来看弯曲的路，它的结果和直的路会有不同吗？

生：不会，和直的路一样种

师：没错，弯曲的路虽然弯曲，但总长度没变，所以情况和直路相同

师：那圆形的封闭路呢？小朋友们在学习单上画画看。

生：在圆形的封闭路的情况下，只有一种结果，4棵。因为它没有端点了，无论第一棵种在圆形的哪一处都是一样的。

师：对，由于首位的端点相连后，只能种4棵树了。

师：小朋友们，让我们总结下这个问题的所有可能：

（循证分析）

围绕着学生是否在本课中对植树问题的种类有深度的解决策略，并应用于解决实际问题。我设计了如下问题进行课后效果检验：

一、有一条21米的小路，在小路的一边每间隔5米要种一棵树，一共要准备多少棵树？

（1）如果小路是不封闭的，有哪些可能？用画图和计算来证明

（2）如果小路是封闭的，有哪些可能？用画图和计算来证明

从结果中发现，学生们能通过画图的方式构建思维，并了解不封闭型小路的两种情况和封闭状态下的一种情况。还能将图形中的量化信息转换成运算，实现了从一种到一类问题解决深度性突破。相比常规的问题解决教学，学生对不同变量对问题产生的影响有更深刻的认识，知道怎么用策略去应对这些状况，并最终解决问题。

（讨论）

1. 问题膨胀期：元问题发散性裂变

情境引入确实可以令学生在教学过程中有良好的沉浸感，但三年级的学生已经达到具体运算阶段，情境在问题解决课中促进思考的效果很小，大可精简这一环节，直接用元问题进入教学主题。由于元问题中许多条件是不确定的，就会导致学生产生发散性思考，使新问题的数量瞬间裂变，课堂的生成性问题资源更充足。

在设计有效元问题上，根据“元问题+变量”的多元函数表达式f(xyz···)=元问题^xyz···，首先要知道驱动元问题产生新问题的变量因子有哪些。通过分析可知导致植树问题复杂化的变量有：植树的范围、两端植树的要求、路的类型

因此将植树问题的元问题设计为：“有一条20米的小路，在小路的一边每间隔5米要种一棵树，一共要准备多少棵树？”其中没有确定小路的类型，也没确定两端的植树要求，但确定了植树的范围，这样的设计出于几点考虑：1.课时时间的考虑，如果植树的范围不确定，将不能在后续的活动中排除错误结果，浪费大量时间。2.虽然植树的范围限制在种路的一边，但在两边种树同样可以在错例分析时，从中理解在两边种树情况下的解决策略。3.种路一边和种路两边只是简单的2倍关系，所以只要理清一边的种法，两边的问题也就迎刃而解。

在课堂的生成情况上，学生的结果有计算两端种树的、一端种树的、两端不种树的、在路两边种树的情况合计5种不同的情况，基本涵盖了植树范围和两端植树要求的所有情况，也就意味着本课元问题已经成功让学生的问题数量裂变。其中得出结果6棵与10棵的学生都是错误理解了题意，分别是两端种树和两端不种树的情况下两边植树的结果。所以在排除环节，先由学生用数形结合的方式阐释3棵与5棵的解决思路，然后再由结果是6棵与10棵的学生来解释他们的思路，最终由其他学生表达意见来否定他们的思路，并总结错误之处在于错误理解题意“在小路的一边”。所有学生经历并认同了这个排除过程，深度内化了植树范围变量对植树问题的影响，种两边就是种一边的两倍数量关系。最终将问题的结果可能性锁定在3棵、4棵、5棵，也就是将问题的解决锁定在了对两端是否种树的变量上，进一步缩小了后续问题思考的范围，为后续的问题聚变提供指向针对性。

2. 问题质疑期：问题在质疑中聚变

学生问题解决能力浅薄的另一个重要原因是他们长时间积累的定势思维，依赖以前的解决经验解决问题，认为一个问题只会出现一个结果。而激发学生质疑本能是消除思维定势的最有效手段，相比直接提出问题，质疑更能激发学生的认知冲突，从聚合思维的角度将多元性的问题聚合成一类问题。与此同时各种变量对解决问题的策略影响不断形成与深度。在第一阶段的问题裂变之后，我一共引导了3次质疑：

第一次，在演示了三种分别种在两端、一端、两端不种的思路与方法后，大部分学生已经认可了这个问题的三种情况。这时对学生引导质疑是最能激发认知冲突的，“三种可能，真的是吗？”学生通过这个反问又重新对问题的条件进行思考加工，深度思考“每隔5米要种一棵树”的条件。从理答结果中，学生生成性的得出结论，“既然每隔5米要种树，那就不存在前后两端不种树和一端种树的情况，因为前后都隔了5米就意味着都要种树”。再通过学生的演示，又再次让大部分的学生认可了这个结论：“只有一种可能，要准备5棵树”。

第二次，学生在上一次质疑中仍有质疑的空间，因此我继续不给出准确的结论，再次引发学生质疑，“那就只有一种结果，是吗？”。学生又再次对问题条件进行深度思考，由于学生对待这个问题的思维一直定势在从起点开始种，因此课堂进入了短暂的寂静中。但没过多久，学生们的创造性思维被质疑所激发，得出了结论：“只要第一棵树种在端点开始的0-5米处，就只需要种4棵，因此这个问题有两种可能”

第三次，在上两次的质疑活动中，质疑的对象都是两端是否种树，但忽视了路的形态。因此当学生认为已经给这个问题的解决画上句号时，我再次提出质疑：“所以现在一共有两种情况，是吗？”。课堂上出现了许多惊讶声，因为学生对于这个问题的理解大多数是文本主义，思维定势在路一定是直的，但其实生活中路的形态可分为封闭的和不封闭的。课堂上沉寂了许多没有学生能打破僵局，于是我给出了提示“难道路一定是直的吗？”。在随后的讨论和总结出，再次梳理出了封闭型路况时的结论：“当路是封闭型时，只能种4棵”。

在三次的质疑活动中，教师始终担任问题导火索的角色，瞄准产生结果中的漏洞展开质疑性提问，造成认知冲突。学生在反复的聚合性思考中，打破了固化已久的从起点开始种树和不封闭型路况的思维定势，并且对是否两端种树的多种情况深度解读，实现了对两种变量的深度理解。

3. 反思与小结

在执教问题解决课时，教师们很怕将问题抛得过大，担心学生想得过多，认为设置开放性的问题环境存在很大的教学风险。但正是因为有这种过分的担心才会逐渐造成学生只会解几种题的窘境，长时间问题解决的思维僵化、能力浅化，学生丧失了自我提出问题并解决的核心素养，也没有类别化的问题策略导向能力。通过这次课例研究，我意识到要提高学生问题解决能力的深度性，就要不惧怕学生有新问题。精心设计一道障碍尽可能少的元问题，使学生产生发散性思考，令新问题裂变。再通过对变量类别的聚合性质疑思考，将问题一一解决，最终形成对一类问题的深度解决能力。