四川省旺苍中学
摘要:思维的基本品质有:广阔性,深刻性,敏捷性,灵活性,独立性,批判性。通过具体案例展示一题多解,促进知识与方法的迁移,促进学生思维的多元化,提高思维的广阔性、灵活性和深刻性。
关键词:一题多解;思维品质
“一题多解”是通过不同的思维途径,采用多种解题方法解决同一个问题的教学方法。在教学中,教师引导学生从不同的方面不同的角度去分析问题解决问题,可以较好地激活学生的思维潜能,充分调动学生脑海中储存的大量信息,在探求问题的解决方案中,使学生建立起解题的思维网络,启迪学生的发散思维能力。
通过认识不同解法的差异和联系,加深对概念、规律的理解和应用,内化认知结构,完善知识结构。一题多解,有利于拓宽学生思维的广阔性,提高思维的灵活性和深刻性,培养学生的辩证思维能力,提升思维的品质。
解法一:直线与椭圆的位置关系
方程
表示斜率为-1的平行直线系,在y轴上的截距为z,当直线与椭圆相切时,z取最值。
消y得
解法二:利用导函数
当直线
与椭圆相切时,z取最值。
法1:
设切点在第一象限, 切点为
,
切点在切线
上
法2:
两边对x同时取导,得
设切点在第一象限, 切点为
,
切点在切线
上
解法三:平方加平方等于1,想到三角换元。
很多同学容易想到上面三种解法,这道题还有其它解法吗?启发引导学生从不同的角度去思考分析,寻求新的解法。
解法四:平方加平方等于1的平方,想到构造直角三角形,解三角形,使用正余弦定理求解。
由正弦定理得
解法五:利用柯西不等式
解法六:升缩变换,椭圆变成圆,直线与椭圆相切转化为直线与圆相切。
解法七:构造向量,利用向量解决。
.
在这个问题的解决中,引导学生从解析几何,导数,三角函数,柯西不等式,向量等角度寻求解法,开拓了解题思路,最大限度地挖掘学生已有的知识潜能。学生对比七种解法,找到适合自己的方法,优化了自己的解题策略。教师要善于启发引导学生从不同角度不同方向出发,寻找解决问题的不同方法,促进学生思维的多元化,培养学生的发散思维能力和创新思维能力,拓宽思维的广度和深度,提升思维品质,提高学生分析问题解决问题的能力。
陈冬良. 注重典型习题,培养探究能力. 数学教学通讯,2008(6):20-22
谢婷婷. 巧用课本习题复习也精彩. 中学数学教与学(初中读本),2009(6):17-19
陈新辉 ,王尚顺. 强化题组功能 提高复习效率。 高中数学教与学,2010(6):47-49