探究高考备考数学易错知识点

探究高考备考数学易错知识点

许顺露

云南省泸西县泸源普通高级中学

一、前言

    三角函数与解三角形是高考数学的必考内容，核心考点有三角函数的概念、图象、性质、三角恒等变换（尤其是凑角问题），以及解三角形。纵观云南近几年高考试题，不难发现，该部分解答题中开始淡化纯粹的三角函数题目，主战场已转向了解三角形，并融入对三角恒等变换的考查。每年该模块的高考真题在命题立意都有一定的新趋势，但总体较为稳定，难度中等。

在三角形中考查三角恒等变换是近几年高考的热点，在2019年高考中尤为突出。首先，要注意三个“统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是解决问题的突破口。其次，它是在三角形这个载体上进行的，因此要时刻注意它的两重性：（1）作为三角形问题，势必要用到三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形的有关性质，而及时进行边角互化则更有利于发现解题的思路；（2）它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的。

本模块的主要考查：熟练掌握和运用三角函数的图象和性质、三角恒等变换的相关公式、正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式.由于三角变换考查的形式灵活多样，很多考生对相关公式、概念、函数图象以及定理理解不够透彻，导致丢分.本节从具体的实例出发，分析高考中三角函数与解三角形考题中易错的知识点及其成因，并对如何规避错误提出一些个人的看法，以期能尽量减少考生在该模块中的丢分.

二、《三角函数与解三角形》模块常见错误类型

(一)忽视角的终边所在象限的讨论导致漏解

例1.已知角的终边在直线上，求角的正弦值、余弦值和正切值。

误解：在直线上任取点

错因分析：角的终边是一条射线，直线由两个角的终边构成，应该根据角的终边所在象限的不同分两种情况讨论。

正解：在直线上任取一个不同于坐标原点的点

(1)当m>0时,

(2)当m<0时,

(二)忽视角的限制条件而致误

例2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知．

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

第一问误解:（1）由题设及正弦定理得．

因为sinA0，所以．

由，可得，故．

因为，故，因此．

错因分析：在△ABC中, 有,所以,所以考生定势思维用B的弦函数来表示A+C的弦函数,就有,只知结果,不知推导过程及其本质,是其误解的主要成因.

正解: 由题设及正弦定理得．

因为sinA0，所以．

由，可得，故．

因为，故，因此．

第二问误解:（2）由题设及（1）知△ABC的面积．

由正弦定理得．

由于△ABC为锐角三角形，故,所以，从而．

因此，△ABC面积的取值范围是．

错因分析：本解答只考虑了角C是锐角的限制条件,没有考虑锐角三角形中三个角都锐角限制,从而导致了角C范围的扩大,在已知角前提下,应有: ，所以.

正解:（2）由题设及（1）知△ABC的面积．

由正弦定理得．

由于△ABC为锐角三角形，故，由（1）知，所以，故，从而．

因此，△ABC面积的取值范围是．

(三)由函数的图象得的图象

例3. （2017新课标Ⅰ理数）已知曲线：，：，则下面结论正确的是

A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线

B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线

C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线

D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线

误解: 把的解析式运用诱导公式变为余弦，

：

则由图象横坐标缩短为原来的，得到,再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线．选C

错因分析:图象向左平移平移个单位长度,应该是将自变量x加,得到是,所以C是错解.

正解．把的解析式运用诱导公式变为余弦，

：

则由图象横坐标缩短为原来的，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线．选D

(四)忽视正弦函数、余弦函数的有界性而致错

例4．（2017新课标Ⅱ理数改编）函数的最大值是．

误解:化简三角函数的解析式，则

，

当时，函数取得最大值． 

正解:化简三角函数的解析式，则

，

由，当时，函数取得最大值．

(五)忽视边角关系而致误

例5.(教材必修4习题3.1A组第8题)在中,,求的值.

误解:

错因分析:在中,大边对大角,大角对大正弦,即,A为锐角, . 

正解:

(六)忽视题目中的隐含条件而致误

例6. 在中,,则角C的大小为________.

误解:

错因分析:在中,,并且在中隐含了,即,从而这一条件,它能帮助取舍.

在误解:

三、总结

三角函数与解三角形是高考数学的必考内容，错误的类型比较多，这里就不一一列举.如何规避这些错误，减少不必要的丢分，是考生们最关心的问题.为此，笔者提出一些个人的看法，供考生参考.

1. 立足课本、抓好基础，牢记相关定义、公式、定理等；

2.三角恒等变换要注意三个“统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”；

3. 解三角形要注意三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形的有关性质，必要时要及时进行边角互化；

4. 三角函数是自变量为角的函数，角是决定因素，所以随时要注意角范围；

5. 三角函数与解三角形具有很强的几何背景，所以解题要注意数形结合。

四、题型检测

1.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=

A．       B．       C．        D．

2.钝角三角形的面积是，，，则=

A．5      B．     C．2       D．1

3.为了得到函数的图象，可以将函数的图像

A．向右平移个单位   B．向右平移个单位   C．向左平移个单位    D．向左平移个单位

4.函数的最大值是．

5.在中，角所对的边分别为，若，，则角的大小为．

6.在中，内角所对的边分别为．已知，，，．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求的值．